[LeetCode] 926. Flip String to Monotone Increasing 翻轉字符串到單調遞增

A string of `'0'`s and `'1'`s is *monotone increasing* if it consists of some number of `'0'`s (possibly 0), followed by some number of `'1'`s (also possibly 0.)

We are given a string S of '0's and '1's, and we may flip any '0' to a '1' or a '1' to a '0'.

Return the minimum number of flips to make S monotone increasing.

Example 1:

Input: "00110"
Output: 1
Explanation: We flip the last digit to get 00111.

Example 2:

Input: "010110"
Output: 2
Explanation: We flip to get 011111, or alternatively 000111.

Example 3:

Input: "00011000"
Output: 2
Explanation: We flip to get 00000000.

Note:

1. 1 <= S.length <= 20000
2. S only consists of '0' and '1' characters.

這道題給了我們一個只有0和1的字符串，現在說是可以將任意位置的數翻轉，即0變為1，或者1變為0，讓組成一個單調遞增的序列，即0必須都在1的前面，博主剛開始想的策略比較直接，就是使用雙指針分別指向開頭和結尾，開頭的指針先跳過連續的0，末尾的指針向前跳過連續的1，然后在中間的位置分別記錄0和1的個數，返回其中較小的那個。這種思路乍看上去沒什么問題，但是實際上是有問題的，比如對於這個例子 "10011111110010111011"，如果按這種思路的話，就應該將所有的0變為1，從而返回6，但實際上更優的解法是將第一個1變為0，將后4個0變為1即可，最終可以返回5，這說明了之前的解法是不正確的。這道題可以用動態規划 Dynamic Programming 來做，需要使用兩個 dp 數組，其中 cnt1[i] 表示將范圍是 [0, i-1] 的子串內最小的將1轉為0的個數，從而形成單調字符串。同理，cnt0[j] 表示將范圍是 [j, n-1] 的子串內最小的將0轉為1的個數，從而形成單調字符串。這樣最終在某個位置使得 cnt0[i]+cnt1[i] 最小的時候，就是變為單調串的最優解，這樣就可以完美的解決上面的例子，子串 "100" 的最優解是將1變為0，而后面的 "11111110010111011" 的最優解是將4個0變為1，總共加起來就是5，參見代碼如下：
解法一：

class Solution {
public:
    int minFlipsMonoIncr(string S) {
        int n = S.size(), res = INT_MAX;
        vector<int> cnt1(n + 1), cnt0(n + 1);
        for (int i = 1, j = n - 1; j >= 0; ++i, --j) {
            cnt1[i] += cnt1[i - 1] + (S[i - 1] == '0' ? 0 : 1);
            cnt0[j] += cnt0[j + 1] + (S[j] == '1' ? 0 : 1);
        }
        for (int i = 0; i <= n; ++i) res = min(res, cnt1[i] + cnt0[i]);
        return res;
    }
};

我們可以進一步優化一下空間復雜度，用一個變量 cnt1 來記錄當前位置時1出現的次數，同時 res 表示使到當前位置的子串變為單調串的翻轉次數，用來記錄0的個數，因為遇到0就翻1一定可以組成單調串，但不一定是最優解，每次都要和 cnt1 比較以下，若 cnt1 較小，就將 res 更新為 cnt1，此時保證了到當前位置的子串變為單調串的翻轉次數最少，並不關心到底是把0變為1，還是1變為0了，其實核心思想跟上面的解法很相近，參見代碼如下：
解法二：

class Solution {
public:
    int minFlipsMonoIncr(string S) {
        int n = S.size(), res = 0, cnt1 = 0;
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            (S[i] == '0') ? ++res : ++cnt1;
            res = min(res, cnt1);
        }
        return res;
    }
};

Github 同步地址:

https://github.com/grandyang/leetcode/issues/926

參考資料：

https://leetcode.com/problems/flip-string-to-monotone-increasing/

https://leetcode.com/problems/flip-string-to-monotone-increasing/discuss/183851/C%2B%2BJava-4-lines-O(n)-or-O(1)-DP

https://leetcode.com/problems/flip-string-to-monotone-increasing/discuss/183896/Prefix-Suffix-Java-O(N)-One-Pass-Solution-Space-O(1)

[LeetCode All in One 題目講解匯總(持續更新中...)](https://www.cnblogs.com/grandyang/p/4606334.html)