前言
首先講一下線性基是什么東西，線性基是一個集合，你在原集合中找到一個子集，子集中的數xor起來一定能在線性基中找一個對應子集的xor和與其相等。
比如說，{x,y}和{x,x^y} 就滿足這么樣一個關系。
原理
我們把這個擴展一下，比如說我們現在有一個集合A，我新加進來一個數a，那么a與A中的數xor一下肯定是沒有問題的。
性質
定義一個數的M值為他二進制上第一個1出現的位置。
我們每往線性基中插入一個數，我們要讓這個數的M值與之前線性基中的每一個數的M值都不同。
插入
那么如何實現呢？
void insert(LL c){
for (int i=51;i>=0;i--){
if (c&bit[i]){
if (!xxj[i]){
xxj[i]=c;
break;
}
c=c^xxj[i];
}
}
}
在這里，xxj[i]表示目前線性基中M值為i的這個數是多少。
那么當我們新插入一個數C
我們從大到小枚舉C的每一個二進制位，如果當前位置上為1，如果對應的xxj[i]沒有數，那么這個數就變成xxj[i]，否則xor上xxj[i]，通過我們前面的原理，這樣正確性是對的，而且這樣我們再掃后面的位置時，保證出現的1就是第一個出現的
例：
xxj[3]=101
xxj[2]=0
插入110
110-->11
所以插入xxj[2]的時候M值已經為2了（這個應該比較好想）
那么我們就完成了線性基的插入，基於二進制位，所以插入的復雜度是log的，而且通過這種插入方式，我們線性基的大小就是基於二進制的位數了，log個。
合並
合並兩個線性基只需要把一個線性基暴力插入另一個即可，復雜度：線性基大小*插入復雜度，$ log_2^2$
刪除
這種不加特技的線性基不支持刪除操作
取最大值
我們從最高位倒着掃下來，掃到第i位，如果當前的答案ans這一位上為1，那么我們xor上xxj[i]一定只會變小，而且這個影響無法消除，因為xxj[i+1..n]都不可能在那ans第i位上變為1，（根據xxj[i]的性質），同理，如果ans這一位上位0，那么xor上ans[i]一定會讓答案變大。
當然如果xxj[i]==0,那就沒有影響
LL query_max(){
LL ret=0;
for (int i=51;i>=0;i--){
if ((xxj[i]^ret)>ret) ret=ret^xxj[i];
}
return ret;
}
取xor d的最大值
那么只需要把ret的初值賦為d就行了，原理也和上面的相同
取最小值
只需要找到最小的i，且xxj[i]不等於0就行了
取k小值
乍一看，一般的線性基好像不可做，
問題在哪兒？
1000001
0000001
同時選1和2比只選1要差，所以我們無法做
但是如果線性基長成這樣
1000000
0100000
0010000
0001000
0000100
那么就好做了，因為選取1和2一定比只選1要優。
所以我么需要對原來的線性基rebuild一下，使得它變成上面那樣的形式，當然
1000010
0100001
0000101
這種形式也是可以的，xxj[最后一位]上沒有數，所以同時選2和3也比只選2優，盡管最后一位上的1被消掉了
所以我們要使得若xxj[i]!=0，那么線性基里其他的數第i位上都為0，所以我們只需要拿xxj[i]去xor一下那些數就好了。
rebuild之后的線性基怎么做：把k轉成二進制，若k的第i位為1，那么將ans xor 上rebuild后第i大的xxj就行了。
void rebuild()
{
for (int i=60;i>=0;i--)
for (int j=i-1;j>=0;j--)
if (d[i]&(1LL<<j))
d[i]^=d[j];
for (int i=0;i<=60;i++)
if (d[i])
p[cnt++]=d[i];
}
long long kthquery(long long k)
{
int ret=0;
if (k>=(1LL<<cnt))
return -1;
for (int i=60;i>=0;i--)
if (k&(1LL<<i))
ret^=p[i];
return ret;
}
以上就是我對線性基的一些個人理解，希望能幫助大家學習，謝謝
同時在此感謝Yveh的博客給了很大幫助。
也感謝同學給予的幫助zhouyuheng2003