最小生成樹之prim算法

MST（Minimum Spanning Tree，最小生成樹）問題有兩種通用的解法，Prim算法就是其中之一，它是從點的方面考慮構建一顆MST，大致思想是：設圖G頂點集合為U，首先任意選擇圖G中的一點作為起始點a，將該點加入集合V，再從集合U-V中找到另一點b使得點b到V中任意一點的權值最小，此時將b點也加入集合V；以此類推，現在的集合V={a，b}，再從集合U-V中找到另一點c使得點c到V中任意一點的權值最小，此時將c點加入集合V，直至所有頂點全部被加入V，此時就構建出了一顆MST。因為有N個頂點，所以該MST就有N-1條邊，每一次向集合V中加入一個點，就意味着找到一條MST的邊。

Prim算法適用於稠密圖 Kruskal適用於稀疏圖

用圖示和代碼說明：

初始狀態：

設置2個數據結構：

lowcost[i]:表示以i為終點的邊的最小權值,當lowcost[i]=0說明以i為終點的邊的最小權值=0,也就是表示i點加入了MST

mst[i]:表示對應lowcost[i]的起點，即說明邊<mst[i],i>是MST的一條邊，當mst[i]=0表示起點i加入MST

我們假設V1是起始點，進行初始化（*代表無限大，即無通路）：

lowcost[2]=6，lowcost[3]=1，lowcost[4]=5，lowcost[5]=*，lowcost[6]=*

mst[2]=1，mst[3]=1，mst[4]=1，mst[5]=1，mst[6]=1，（所有點默認起點是V1）

明顯看出，以V3為終點的邊的權值最小=1，所以邊<mst[3],3>=1加入MST

此時，因為點V3的加入，需要更新lowcost數組和mst數組：

 

lowcost[2]=5，lowcost[3]=0，lowcost[4]=5，lowcost[5]=6，lowcost[6]=4

mst[2]=3，mst[3]=0，mst[4]=1，mst[5]=3，mst[6]=3

明顯看出，以V6為終點的邊的權值最小=4，所以邊<mst[6],6>=4加入MST

 

此時，因為點V6的加入，需要更新lowcost數組和mst數組：

 

lowcost[2]=5，lowcost[3]=0，lowcost[4]=2，lowcost[5]=6，lowcost[6]=0

mst[2]=3，mst[3]=0，mst[4]=6，mst[5]=3，mst[6]=0

 

明顯看出，以V4為終點的邊的權值最小=2，所以邊<mst[4],4>=4加入MST

 

此時，因為點V4的加入，需要更新lowcost數組和mst數組：

 

lowcost[2]=5，lowcost[3]=0，lowcost[4]=0，lowcost[5]=6，lowcost[6]=0

mst[2]=3，mst[3]=0，mst[4]=0，mst[5]=3，mst[6]=0

明顯看出，以V2為終點的邊的權值最小=5，所以邊<mst[2],2>=5加入MST

 

此時，因為點V2的加入，需要更新lowcost數組和mst數組：

 

lowcost[2]=0，lowcost[3]=0，lowcost[4]=0，lowcost[5]=3，lowcost[6]=0

mst[2]=0，mst[3]=0，mst[4]=0，mst[5]=2，mst[6]=0

很明顯，以V5為終點的邊的權值最小=3，所以邊<mst[5],5>=3加入MST

 

lowcost[2]=0，lowcost[3]=0，lowcost[4]=0，lowcost[5]=0，lowcost[6]=0

mst[2]=0，mst[3]=0，mst[4]=0，mst[5]=0，mst[6]=0

至此，MST構建成功，如圖所示：

 

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<stack>
#include<map>
#include<sstream>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 2e3 + 10;
const int INF = 1 << 30;
int dir[4][2] = {1,0,0,1,-1,0,0,-1};
int T, n, m, x;
int Map[maxn][maxn];//存圖
int lowcost[maxn], mst[maxn];
void prim(int u)//最小生成樹起點
{
    int sum_mst = 0;//最小生成樹權值
    for(int i = 1; i <= n; i++)//初始化兩個數組
    {
        lowcost[i] = Map[u][i];
        mst[i] = u;
    }
    mst[u] = -1;//設置成-1表示已經加入mst
    for(int i = 1; i < n; i++)//此處只需要迭代n-1次即可
    {
        int minn = INF;
        int v = -1;
        //在lowcost數組中尋找未加入mst的最小值
        for(int j = 1; j <= n; j++)
        {
            if(mst[j] != -1 && lowcost[j] < minn)
            {
                v = j;
                minn = lowcost[j];
            }
        }
        if(v != -1)//v=-1表示未找到最小的邊,
        {//v表示當前距離mst最短的點
            printf("%d %d %d\n", mst[v], v, lowcost[v]);//輸出路徑
            mst[v] = -1;
            sum_mst += lowcost[v];
            for(int j = 1; j <= n; j++)//更新最短邊
            {
                if(mst[j] != -1 && lowcost[j] > Map[v][j])
                {
                    lowcost[j] = Map[v][j];
                    mst[j] = v;
                }
            }
        }
    }
    printf("weight of mst is %d\n", sum_mst);
}
int main()
{
    cin >> n >> m;
    memset(Map, 0, sizeof(Map));
    for(int i = 1; i <= m; i++)
    {
        int u, v, w;
        cin >> u >> v >> w;
        Map[u][v] = Map[v][u] = w;
    }
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        for(int j = 1; j <= n; j++)
        {
            if(i == j)Map[i][j] = 0;
            else if(!Map[i][j])Map[i][j] = INF;
        }
    }
    prim(1);
    return 0;
}

輸入：

7 9
1 2 28
1 6 10
2 3 16
2 7 14
3 4 12
4 5 22
4 7 18
5 6 25
5 7 24

輸出：

1 6 10
6 5 25
5 4 22
4 3 12
3 2 16
2 7 14
weight of mst is 99