最小生成樹，Prim算法實現

最小生成樹

所謂最小生成樹，就是一個圖的極小連通子圖，它包含原圖的所有頂點，並且所有邊的權值之和盡可能的小。

首先看看第一個例子，有下面這樣一個帶權圖：

它的最小生成樹是什么樣子呢？下圖綠色加粗的邊可以把所有頂點連接起來，又保證了邊的權值之和最小：

去掉那些多余的邊，該圖的最小生成樹如下：

 

下面我們再來看一個更加復雜的帶權圖：

同樣道理，下圖綠色加粗的邊可以把所有頂點連接起來，又保證了邊的權值之和最小：

去掉那些多余的邊，該圖的最小生成樹如下：

 

圖的極小連通子圖不需要回路，而是一個樹形結構，所以人們才把它叫做最小生成【樹】。圖的最小生成樹也不是唯一的，同一個圖可以有多個不同的最小生成樹，但是他們的權值之和是一樣的。

最小生成樹的用處可多了，比如我們要在若干個城市之間鋪設道路，而我們的預算又是有限的，那么我們就需要找出成本最低的方式鋪路，最小生成樹的作用就來了。

怎樣鋪設才能保證成本最低呢？

城市之間的交通網就像一個連通圖，我們並不需要在每兩個城市之間都直接進行連接，只需要一個最小生成樹，保證所有的城市都有鐵路可以觸達即可。

 

通常生成最小生成樹常用的算法有兩種，一種是 Kruskal 算法，另一種是 Prim 算法。下面介紹下 Prim 算法

Prim算法是如何工作的呢？

這個算法是以圖的頂點為基礎，從一個初始頂點開始，尋找觸達其他頂點權值最小的邊，並把該頂點加入到已觸達頂點的集合中。當全部頂點都加入到集合時，算法的工作就完成了。Prim算法的本質，是基於貪心算法。

接下來說一說最小生成樹的存儲方式。我們最常見的樹的存儲方式，是鏈式存儲，每一個節點包含若干孩子節點的指針，每一個孩子節點又包含更多孩子節點的指針：

這樣的存儲結構很清晰，但是也相對麻煩。為了便於操作，我們的最小生成樹用一維數組來表達，數組下標所對應的元素，代表該頂點在最小生成樹當中的父親節點。（根節點沒有父親節點，所以元素值是-1）

下面讓我們來看一看算法的詳細過程：

1.選擇初始頂點，加入到已觸達頂點集合。

 

2.從已觸達頂點出發，尋找到達新頂點的權值最小的邊。顯然從0到2的邊權值最小，把頂點2加入到已觸達頂點集合，Parents當中，下標2對應的父節點是0。

 

3.從已觸達頂點出發，尋找到達新頂點的權值最小的邊。顯然從2到4的邊權值最小，把頂點4加入到已觸達頂點集合，Parents當中，下標4對應的父節點是2。

4.從已觸達頂點出發，尋找到達新頂點的權值最小的邊。顯然從0到1的邊權值最小，把頂點1加入到已觸達頂點集合，Parents當中，下標1對應的父節點是0。

5.從已觸達頂點出發，尋找到達新頂點的權值最小的邊。顯然從1到3的邊權值最小，把頂點3加入到已觸達頂點集合，Parents當中，下標3對應的父節點是1。

 

 這樣一來，所有頂點都加入到了已觸達頂點集合，而最小生成樹就存儲在Parents數組當中。

 

Java：

import java.io.*;
import java.util.*;

class Test  
{
    final static int INF = Integer.MAX_VALUE;
    public static int[] prim(int[][]matrix){
        List <Integer> reachedVertexList = new ArrayList<Integer>();
        //選擇頂點0為初始頂點，放入已觸達頂點集合中
        reachedVertexList.add(0);
        //創建最小生成樹數組，首元素設為-1
        int[] parents = new int[matrix.length];
        parents[0]=-1;
        //邊的權重
        int weight;
　　　　 //源頂點下標
        int fromIndex = 0;
　　　　 //目標頂點下標
        int toIndex =0;
        while(reachedVertexList.size() < matrix.length){
            weight =INF;
　　　　　　　//在已觸達的頂點中，尋找到達新頂點的最短邊
            for(Integer vertexIndex :reachedVertexList){
                for(int i =0;i <matrix.length;i++){
                    if(!reachedVertexList.contains(i)){
                        if(matrix[vertexIndex][i]<weight){
                            fromIndex =vertexIndex;
                            toIndex =i;
                            weight =matrix[vertexIndex][i];
                        }
                    }
                }
            }
            //確定了權值最小的目標頂點，放入已觸達頂點集合
            reachedVertexList.add(toIndex);

　　　　　　　//放入最小生成樹的數組
            parents[toIndex]=fromIndex;
        }
        return parents;
    }
    
    
    public static void main(String[]args){
        int[][]matrix =new int[][]{
            {0,4,3,INF,INF},
            {4,0,8,7,INF},
            {3,8,0,INF,1},
            {INF,7,INF,0,9},
            {INF,INF,1,9,0},
        };
        int[]parents =prim(matrix);
        System.out.println(Arrays.toString(parents));
    }
    
}

運行結果：

[-1, 0, 0, 1, 2]

這段代碼當中，圖的存儲方式是鄰接矩陣，在main函數中作為測試用例的圖和對應的鄰接矩陣如下：