ALGO-17_藍橋杯_算法訓練_乘積最大(DP)

問題描述 

　　今年是國際數學聯盟確定的“2000——世界數學年”，又恰逢我國著名數學家華羅庚先生誕辰90周年。在華羅庚先生的家鄉江蘇金壇，組織了一場別開生面的數學智力競賽的活動，你的一個好朋友XZ也有幸得以參加。活動中，主持人給所有參加活動的選手出了這樣一道題目：

　　設有一個長度為N的數字串，要求選手使用K個乘號將它分成K+1個部分，找出一種分法，使得這K+1個部分的乘積能夠為最大。

　　同時，為了幫助選手能夠正確理解題意，主持人還舉了如下的一個例子：

　　有一個數字串：312， 當N=3，K=1時會有以下兩種分法：

　　3*12=36
　　31*2=62

　　這時，符合題目要求的結果是：31*2=62

　　現在，請你幫助你的好朋友XZ設計一個程序，求得正確的答案。

輸入格式 

　　程序的輸入共有兩行：
　　第一行共有2個自然數N，K（6≤N≤40，1≤K≤6）
　　第二行是一個長度為N的數字串。


輸出格式 

　　輸出所求得的最大乘積（一個自然數）。

　　樣例輸入

　　4 2
　　1231
樣例輸出
62

 

記:

由於DP題目的解法仍不熟悉,故上網搜尋解題思路

(代碼參考:https://blog.csdn.net/fine_rose/article/details/63685548)

 參考代碼:

#include <stdio.h> 
#define MIN(X,Y) (X)<(Y)?(X):(Y)

int n,k;
long long num[45] = {0};
long long dp[45][6] = {0};/*可使用的數字,*號的個數*/

long long cut(int l,int r)
{
    int i;
    long long end = 0;
    for (i = l ; i <= r ;i ++)
    {
        end = end*10 + num[i];        
    }
    return end;
}

void init()
{
    int i;
    char tmp[45] = {0};
    scanf("%d %d",&n,&k);
    scanf("%s",&tmp);
    for (i = 1 ; i <= n ; i ++)
    {
        num[i] = tmp[i-1]-'0';
    }
    for (i = 1 ; i <= n ; i ++)
    {
        dp[i][0] = cut(1,i);
    }
    return ;
}

void find()
{
    int i,j;
    int a,b;
        
    for (i = 2 ; i <= n ; i ++)/*枚舉能使用數字(1-i),(至少需要2數字才可添加*號)*/
    {
        j = MIN(i-1,k);/*枚舉在能使用數字中最多能放的*個數*/
        for (a = 1 ; a <= j ; a ++)/*枚舉j個乘號情況下的數字分布*/
        {
            for (b = a ; b < i ; b ++)/*枚舉在能使用數字內的不同組合*/
            {
                if (dp[b][a-1]*cut(b+1,i) > dp[i][a])
                {
                    dp[i][a] = dp[b][a-1]*cut(b+1,i);/*存放最大值*/
                }
            }
        }
    }    
    
    return ;
}

int main(void)
{
    init();
    find();
    printf("%lld",dp[n][k]);
    return 0;
}

 

 

在過完思路后,可以發現由於會遍歷不同長度下的可能結果,而我們僅僅是要長度為n時的最大乘積,顯然程序做了大量的無用功

而到這里，思路也有所啟發

從題目中，我們可以得到的隱藏條件是n>1,且n>k

而題目的樣例輸入

4 2

1231

指兩個乘號,放在4個數據中間(左右兩端不能放),那么

第一個乘號的可能出現位置為:1*2*3*1 

第二個乘號的可能出現位置為:12*3*1 (至少已放了一個乘號)

 顯然，后面的乘號出現位置與前面的乘號的位置有關系，可以通過標記擺放乘號，並用遞歸遍歷不同的乘號(dfs)

這樣，我們就可以得到一種情況下的數字分割

通過查乘號的出現位置，完成數字之間的相乘，並比較最大值，將最大值保存

 

改進代碼:

#include <stdio.h> 
#define MAX 46

int n,k;
long long num[MAX] = {0};/*每一位的數據存儲*/
int vis[MAX] = {0};    /*每一位乘號的使用標記*/
long long max = 0;        /*最大值存儲*/

void init()
{
    int i;
    char tmp[MAX] = {0};
    scanf("%d %d",&n,&k);
    scanf("%s",&tmp);
    for (i = 1 ; i <= n ; i ++)
    {
        num[i] = tmp[i-1]-'0';
    }
    return ;
}

long long cut(int l,int r)
{
    int i;
    long long end = 0;
    for (i = l ; i <= r ;i ++)
    {
        end = end*10 + num[i];        
    }
    return end;
}

void dfs(int x) 
{
    /*隱藏條件:N>1,N>K*/
    int i;
    int a,b;/*乘號分割下的數字左右下標*/
    long long tmp;
                
    if (x > k)/*乘號使用完畢*/
    {
        a = 0,b = 1;
        tmp = 1;
        /*計算該次搜索中的數字分割后的乘積*/
        for (i = 1 ; i < n ; i ++)
        {
            if (vis[i])
            {
                b = i;
                tmp *= cut(a+1,b);                
                a = b;
            }            
        }
        tmp *= cut(a+1,n);
        if (tmp > max)
        {
            max = tmp;
        }
        return ;
    }
     
    for (i = x ; i < n ; i ++)/*遍歷不同位置的乘號*/
    {
        if (!vis[i])/*當前位置的乘號未使用*/
        {
            vis[i] = 1;
            dfs(x+1);
            vis[i] = 0;
        }
    }
        
    return ;
}

int main(void)
{
    init();
    dfs(1);
    printf("%lld",max);
    return 0;
}