藍橋杯 算法訓練 ALGO-36 傳紙條

算法訓練 傳紙條  

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問題描述

　　小淵和小軒是好朋友也是同班同學，他們在一起總有談不完的話題。一次素質拓展活動中，班上同學安排做成一個m行n列的矩陣，而小淵和小軒被安排在矩陣對角線的兩端，因此，他們就無法直接交談了。幸運的是，他們可以通過傳紙條來進行交流。紙條要經由許多同學傳到對方手里，小淵坐在矩陣的左上角，坐標(1,1)，小軒坐在矩陣的右下角，坐標(m,n)。從小淵傳到小軒的紙條只可以向下或者向右傳遞，從小軒傳給小淵的紙條只可以向上或者向左傳遞。
　　在活動進行中，小淵希望給小軒傳遞一張紙條，同時希望小軒給他回復。班里每個同學都可以幫他們傳遞，但只會幫他們一次，也就是說如果此人在小淵遞給小軒紙條的時候幫忙，那么在小軒遞給小淵的時候就不會再幫忙。反之亦然。
　　還有一件事情需要注意，全班每個同學願意幫忙的好感度有高有低（注意：小淵和小軒的好心程度沒有定義，輸入時用0表示），可以用一個0-100的自然數來表示，數越大表示越好心。小淵和小軒希望盡可能找好心程度高的同學來幫忙傳紙條，即找到來回兩條傳遞路徑，使得這兩條路徑上同學的好心程度只和最大。現在，請你幫助小淵和小軒找到這樣的兩條路徑。

輸入格式

　　輸入第一行有2個用空格隔開的整數m和n，表示班里有m行n列（1<=m,n<=50）。
　　接下來的m行是一個m*n的矩陣，矩陣中第i行j列的整數表示坐在第i行j列的學生的好心程度。每行的n個整數之間用空格隔開。

輸出格式

　　輸出一行，包含一個整數，表示來回兩條路上參與傳遞紙條的學生的好心程度之和的最大值。

樣例輸入

3 3
0 3 9
2 8 5
5 7 0

樣例輸出

34

數據規模和約定

　　30%的數據滿足：1<= m, n<=10
　　100%的數據滿足：1<= m, n<=50

 

題目解析：

　　本道題需用到的算法為動態規划。

　　題目中提到在 m 行 n 列且帶有權值的矩陣中從（1，1）到（m，n）找一條路徑，然后再從（m，n）到（1,1）找一條路徑，這兩天路徑不能重復，即每個點只能兩個人只能走一次，且不可以回退，即第一條只能向下或向右，第二條只能向上或向左。化簡后可知：其實就是從（1，1）到（m，n）找兩條路徑，這兩條路徑只能向下或向右且不相交，計算出這兩條路徑的權值和的最大值即可。

　　所以很容易構想出動態規划方程：

　　兩個人走，利用四維的數組 dp[x1][y1][x2][y2] 來保存路徑中間過程的權值之和的最大值，其中 x1 y1 x2 y2 分別表示兩個人的位置。

　　每個人現在的位置都有兩種可能：從他的上邊或左邊；兩個人組合就有四種可能，因此：構造出動態規划方程（map[x][y] 表示權值，即好心程度）：

dp[x1][y1][x2][y2]=max(dp[x1-1][y1][x2-1][y2],dp[x1][y1-1][x2-1][y2],dp[x1][y1-1][x2][y2-1],dp[x1-1][y1][x2][y2-1])+map[x1][y1]+map[x2][y2];

　　其中 x1，x2 的取值范圍為從起點到終點，即 1 ~ m，y1，y2 的取值范圍為起點到終點，即 1 ~ n。

　　此方程的時間復雜度為 O(n⁴)。因此可以進一步優化：

　　假如現在是 5 x 5 的矩陣，每個人從起點走三步，會出現四種情況。

　　這四種情況的坐標分別為：（0，3）（1，2） （2，1） （3，0）。通過這四個坐標，發現一個規律： 0 + 3 = 1 + 2 = 2 + 1 = 3 + 0 = 3 = k （k為走的步數）。所有，x1 + x2 = k ， x2 + y2 = k。所以，y = k - x。因此，三維的動態規划方程為：

dp[k][x1][x2]=max(dp[k-1][x1][x2],dp[k-1][x1-1][x2-1],dp[k-1][x1-1][x2],dp[k-1][x1][x2-1])+map[x1][k-x1]+map[x2][k-x2];

　　其中，dp[k][x1][x2] 就是四維的 dp[x1][y1][x2][y2]，dp[k-1][x1][x2] 就是四維的 dp[x1][y1-1][x2][y2-1]，map[x1][k-x1] 就是四維的 map[x1][y1]，以此類推。

　　終點的坐標為 （m-1，n-1），但是 k 不能到達終點這個位置，因為違背了題目中兩個人不能重復，k 的最大情況為（m-1）+（n-1）- 1，k 在最小情況也就是 2 x 2 的矩陣中取得最小值 1，所以 k 的取值范圍為 1 ~   m+n-3。x1 和 x2  的取值范圍都為從起點（0，0）到最大步數 k，即 0 ~ k。

　　此方程的時間復雜度為 O(n³)。因此還可以進一步優化：

　　從三維的動態規划方程可以發現，前一步總是 k - 1，所以，二維的動態規划方程可以優化為：

dp[x1][x2] = max(dp[x1][x2], dp[x1 - 1][x2 - 1], dp[x1 - 1][x2], dp[x1][x2 - 1]) + map[x1][k - x1] + map[x2][k - x2];

　　根據三維時的分析，兩條路徑都走不到終點，所以讓第一個人走到終點的上方，第二個人走到終點的左方，k 的取值范圍為 1 ~ （m-1）+（n-1）- 1，最終要輸出的結果為 dp[m-2][m-1]。

　　 此方程的時間復雜度為  O(n²)。

 

示例代碼1 [四維數組]：

#include <iostream>
#include<stdio.h>
#include<cmath>
using namespace std;

#define MAX_NUM 52

int map[MAX_NUM][MAX_NUM];     //好心程度 | 權值
int dp[MAX_NUM][MAX_NUM][MAX_NUM][MAX_NUM];

int maxPath(int m, int n)
{
    for (int x1 = 1; x1 <= m; x1++)
    {
        for (int y1 = 1; y1 <= n; y1++)
        {
            for (int x2 = 1; x2 <= m; x2++)
            {
                for (int y2 = 1; y2 <= n; y2++)
                {
                    /*
                        如果第一個人沒有走到最后一行或最后一列，並且兩個人沒有重復 
                        因為走到最后一行或最后一列，容易造成第二個人無路可走的情況 
                    */
                    if ((x1 < m || y1 < n) && x1 == x2 && y1 == y2)     
                    {
                        continue;
                    }
                    dp[x1][y1][x2][y2] = max( max(dp[x1-1][y1][x2-1][y2], dp[x1-1][y1][x2][y2-1]), 
                                              max(dp[x1][y1-1][x2-1][y2], dp[x1][y1-1][x2][y2-1]))
                                             + map[x1][y1] + map[x2][y2];
                }
            }
        }
    }
    return dp[m][n][m][n]; 
}

int main()
{
    int m, n;
    scanf("%d%d", &m, &n);
    
    for (int i = 1;i <= m; i++)
        for (int j = 1;j <= n; j++)
            scanf("%d", &map[i][j]);
        
    int ans = maxPath(m, n);
    printf("%d\n", ans);
        
    return 0;
}

 

示例代碼2 [三維數組]：

#include<iostream>
#include<cstdio> 
#include<cmath>
using namespace std;

#define MAX_NUM 52

int map[MAX_NUM][MAX_NUM];     //好心程度 | 權值
int dp[MAX_NUM+MAX_NUM][MAX_NUM][MAX_NUM];

int maxPath(int m, int n)
{
    for (int k = 1;k <= m+n-3; k++)
    {
        for (int x1 = 0; x1 <= k; x1++)
        {
            for (int x2 = 0; x2 <= k; x2++)
            {
                if (x1 == x2)    //x1 == x2 相當於(x1 == x2 && y1 = y2) 
                {
                    continue;
                }
                dp[k][x1][x2] = max(max(dp[k-1][x1][x2], dp[k-1][x1-1][x2-1]),
                                    max(dp[k-1][x1-1][x2], dp[k-1][x1][x2-1]))
                                + map[x1][k-x1] + map[x2][k-x2];
            }
        }
    }
    return dp[m+n-3][m-1][m-2];
}

int main()
{
    int m, n;
    scanf("%d%d", &m, &n);
    
    for (int i = 0; i < m; i++)
        for (int j = 0; j < n; j++)
            scanf("%d", &map[i][j]);
            
    int ans = maxPath(m, n);
    printf("%d\n", ans);
    
    return 0;
}

 

示例代碼3 [二維數組]：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string.h>
#include<cmath> 
using namespace std;
 
#define MAX_NUM 52

int map[MAX_NUM][MAX_NUM];   //好心程度 | 權值 
int dp[MAX_NUM][MAX_NUM];
 
int maxPath(int m, int n)  
{  
    memset(dp, 0, sizeof(dp));
    for (int k = 1; k <= m+n-3; k++)  
    {  
        for (int x1 = m-1; x1 >= 0; x1--)  
        {  
            for (int x2 = m-1; x2 > x1; x2--)  
            {  
                if ( k >= x1 && k >= x2)    //x + y = k,當k >= x時，說明還在矩陣范圍之內  
                {
                    dp[x1][x2] = max(max(dp[x1][x2], dp[x1-1][x2-1]), 
                                     max(dp[x1-1][x2], dp[x1][x2-1])) 
                                 + map[x1][k-x1] + map[x2][k-x2];
                }
            }  
        }  
    }  
    return dp[m-2][m-1]; 
}
  
int main()  
{
    int m, n;
    scanf("%d %d", &m, &n);
      
    for (int i = 0;i < m; i++)  
        for (int j = 0; j < n; j++)  
            scanf("%d", &map[i][j]);  
    
    int ans = maxPath(m, n);
    printf("%d\n", ans); 
    
    return 0;  
}