猴子選大王--約瑟夫問題淺析
猴子選大王問題是一個十分經典的算法問題，這個問題是這樣的：一堆猴子都有編號，編號是1，2，3 ...m，這群猴子（m個）按照1-m的順序圍坐一圈，從第1開始數，每數到第N個，該猴子就要離開此圈，這樣依次下來，直到圈中只剩下最后一只猴子，則該猴子為大王。
這個問題要解決起來並不難，但求解的方法很多；題目的變化形式也很多，而我們統稱這類問題為約瑟夫問題。這類題目基本的描述為：N個人圍成一圈，從第一個開始報數，第M個將被殺掉，最后剩下一個，其余人都將被殺掉。例如N=6，M=5，被殺掉的順序是：5，4，6，2，3，1。下面我們先來分析一下解決這類問題的幾個步驟。
（1）由於對於每個人只有死和活兩種狀態，因此可以用布朗型數組標記每個人的狀態，可用true表示死，false表示活。
（2）開始時每個人都是活的，所以數組初值全部賦為false。
（3）模擬殺人過程，直到所有人都被殺死為止。
題目中N個人圍成一圈，因而啟發我們用一個循環的鏈來表示，可以使用數組結構來構成一個循環鏈表。結構中有兩個成員，其一為指向下一個人的指針，以構成環形的鏈；其二為該人是否被殺死的標記，為1表示還存活。從第一個人開始對還存活的人進行計數，每數到M時，將結構中的標記改為0，表示該人已被殺死。這樣循環計數直到有15個人被殺死為止。
但是，無論是用鏈表實現還是用數組實現都有一個共同點：要模擬整個游戲過程，不僅程序寫起來比較煩，而且時間復雜度高達O(nm），當n，m非常大（例如上百萬，上千萬）的時候，幾乎是沒有辦法在短時間內出結果的。我們注意到原問題僅僅是要求出最后的勝利者的序號，而不是要讀者模擬整個過程。因此如果要追求效率，就要打破常規，實施一點數學策略。
為了討論方便，先把問題稍微改變一下，並不影響原意：
問題描述：n個人（編號0~(n-1）），從0開始報數，報到（m-1）的退出，剩下的人繼續從0開始報數。求勝利者的編號。
我們知道第一個人（編號一定是（m-1）) 出列之后，剩下的n-1個人組成了一個新的約瑟夫環（以編號為k=m mod n的人開始）：
k k+1 k+2 ... n-2,n-1,0,1,2,... k-2
並且從k開始報0。
我們把他們的編號做一下轉換：
k --> 0
k+1 --> 1
k+2 --> 2
...
...
k-2 --> n-2
變換后就完完全全成為了（n-1）個人報數的子問題，假如我們知道這個子問題的解：例如x是最終的勝利者，那么根據上面這個表把這個x變回去不剛好就是n個人情況的解嗎？！！變回去的公式很簡單，相信大家都可以推出來：x'=(x+k) mod n
如何知道（n-1）個人報數的問題的解？對，只要知道（n-2）個人的解就行了。（n-2）個人的解呢？當然是先求（n-3）的情況 ---- 這顯然就是一個倒推問題！好了，思路出來了，下面寫遞推公式：
令f表示i個人玩游戲報m退出最后勝利者的編號，最后的結果自然是f[n]
遞推公式
f[1]=0;
f[i]=(f[i-1]+m) mod i; (i>1）
有了這個公式，我們要做的就是從1-n順序算出f的數值，最后結果是f[n]。因為實際生活中編號總是從1開始，我們輸出f[n]+1
由於是逐級遞推，不需要保存每個f，程序也是異常簡單：
1 package com.jredu100.ch4.test; 2 3 import java.util.Scanner; 4 /** 5 * 約瑟夫問題 6 * @author ymyBlogs 7 * 8 */ 9 public class Test11 { 10 11 public static void main(String[] args) { 12 // TODO Auto-generated method stub 13 int s=0; 14 int M=3; 15 Scanner sc=new Scanner(System.in); 16 System.out.println("請輸入人數："); 17 int n=sc.nextInt(); 18 for(int i=2;i<=n;i++){ 19 s=(s+M)%i; 20 } 21 System.out.println("最終位置為："); 22 System.out.println(s+1); 23 } 24 25 }
這個算法的時間復雜度為O(n），相對於模擬算法已經有了很大的提高。算n，m等於一百萬，一千萬的情況不是問題了。可見，適當地運用數學策略，不僅可以讓編程變得簡單，而且往往會成倍地提高算法執行效率。