1.正態分布（高斯分布）
若隨機變量 $X$ 服從一個位置參數為 $\mu$ 、尺度參數為 $\sigma$ 的概率分布，且其概率密度函數為
$$ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\,\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2 {\sigma} ^2}} $$
則這個隨機變量就稱為正態隨機變量，正態隨機變量服從的分布就稱為正態分布，記作 $X \thicksim N(\mu , \sigma ^2)$ 。
當$\mu = 0, \sigma = 1$時，稱為標准正態分布。 $X \thicksim N(0 , 1)$
$$ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2 }} $$
如下圖是一般正態分布
如下圖是標准整體分布
一般正態分布的分布函數$F(x)$
$$F(x)=P(X \leqslant x)= \frac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma}\int_{-\infty}^{x}e^{-\tfrac{(t-\mu)^2}{2{\sigma}^2}}dt $$
標准正態分布的分布函數$\Phi(x)$：
$$\Phi(x)=P(X \leqslant x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi} }\int_{-\infty}^{x}e^{-\tfrac{t^2}{2}}dt $$
2.Q函數
Q函數又稱標准正態分布的右尾函數。
$$Q(x)=\int_x^\infty\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\ e^{-\tfrac{t^2}{2}}dt = 1-\Phi(x) $$
3.誤差函數
$$ erf(x)=\frac{2}{\sqrt{ \pi}}\int_0^{x}e^{-t^2}dt $$
4.互補誤差函數
$$ erfc(x)=\frac{2}{\sqrt{ \pi}}\int_x^{\infty}e^{-t^2}dt = 1-erf(x) $$
5.它們之間的關系
$$ Q(x) = 1-\Phi(x) $$
$$ Q(x) = \frac{1}{2} erfc(x/ \sqrt 2) $$
$$ erfc(x) = 2Q(\sqrt 2 x) $$
$$ erf(x) = 1-2Q(\sqrt 2 x) $$
$$ erf(x) + erfc(x) = 1 $$
注：
由正態分布密度函數的總積分為1（即概率 P(X<∞) = 1）得：
