問題：輸入具有n個整數的向量arr，輸出向量的任意連續子向量和的最大值
特殊情況（1、當向量都為正數時，為整個向量
2、當向量都為負數時，為0，即空子串
）
1、O（n2）的算法 （循環對所有情況進行遍歷）
1 #include <stdio.h>
2 #define max(a,b) ((a>b)?a:b)
3 #define max3(a,b,c) ((a>b)?((a>c)?a:c):((b>c)?b:c))
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5 int find1(int arr[], int n){
6 int i,j,sum,maxsofar; 7 maxsofar = 0; 8 9 for(i=0; i<n; i++){ 10 sum = 0; 11 for(j=i; j<n; j++){ 12 sum += arr[j]; 13 maxsofar = max(sum, maxsofar); 14 } 15 } 16 return maxsofar; 17 }
其中有個小細節就是 注意sum(i, j-1) 和 sum(i, j）的關系，不要每次在求和的時候從頭（i的位置）開始，那樣會使復雜度變為O(n3)
2、O(nlogn)算法
基於分治原理的算法：首先將n的原問題划分為大小基本相等的兩個子問題，我們分別稱為a和b子問題，可以遞歸找出a和b問題的最大子向量，稱為maxa 和 maxb。
但他們兩個之間的最大值不一定使我們求得n問題的最優解，還有一種可能是跨越a和b的邊界，我們稱之為c，c情況的最優解為maxc。
那么問題變成了如何求解maxc？
我們可以發現，maxc中在a的部分為a中包括a的右邊界的最大值，maxc中在b的部分為b中包括b的左邊界的最大值，因此可以在O(N)的時間內算出maxc
因此得到T(N) = 2T(N/2) + O(N)
推導得到T(N) = O(nlogn)
1 int find2(int arr[], int s_p, int e_p){
2 int m, sum, i, maxsofar, lmaxsofar, rmaxsofar; 3 maxsofar = 0; 4 5 if(s_p == e_p){ 6 return maxsofar; 7 } 8 else if(s_p == e_p){ 9 return max(arr[s_p],0); 10 } 11 else{ 12 m = (s_p + e_p) / 2; 13 14 lmaxsofar = 0; 15 sum = 0; 16 for(i=m; i>=s_p; i--){ 17 sum += arr[i]; 18 lmaxsofar = max(sum, lmaxsofar); 19 } 20 21 rmaxsofar = 0; 22 sum = 0; 23 for(i=m+1; i<=e_p; i++){ 24 sum += arr[i]; 25 rmaxsofar = max(sum, rmaxsofar); 26 } 27 28 return max3(lmaxsofar+rmaxsofar,find2(arr, s_p, m), find2(arr, m+1, e_p)); 29 } 30 }
3、O(n)算法
先上代碼，代碼非常簡短，理解起來比較困難，但是執行效率非常高
1 int find3(int arr[], int n){ 2 int i,maxsofar,maxendinghere; 3 maxsofar = 0; 4 maxendinghere = 0; 5 6 for(i=0; i<n; i++){ 7 maxendinghere = max(maxendinghere + arr[i], 0); 8 maxsofar = max(maxsofar, maxendinghere); 9 } 10 11 return maxsofar; 12 }
假設我們已經解決了x[0,n-1]的問題，利用分治算法的原理：前i個元素中，最大總和子數組要么在前i-1個元素中，要么其結束位置在i處。
分析其結束為止在i處的情況，那么子向量中除去i處的元素組成的子向量一定是x[0,i-1]中結束位置為i-1的最大子向量。
看代碼中的關鍵變量為maxendinghere：在循環語句的第一個賦值語句之前，maxendinghere是結束位置為i-1的最大子向量的和；賦值語句將其修改為結束位置為i的最大子向量的和。若加上x[i]后結果依然為正值，則結束位置在i的最大子向量值就為maxendinghere+x[i],如果為負值，則重置為0。