第八屆藍橋杯決賽 磁磚樣式

標題：磁磚樣式

小明家的一面裝飾牆原來是 3*10 的小方格。
現在手頭有一批剛好能蓋住2個小方格的長方形瓷磚。
瓷磚只有兩種顏色：黃色和橙色。
小明想知道，對於這么簡陋的原料，可以貼出多少種不同的花樣來。
小明有個小小的強迫症：忍受不了任何2*2的小格子是同一種顏色。
（瓷磚不能切割，不能重疊，也不能只鋪一部分。另外，只考慮組合圖案，請忽略瓷磚的拼縫）
顯然，對於 2*3 個小格子來說，口算都可以知道：一共10種貼法，如【p1.png所示】
但對於 3*10 的格子呢？肯定是個不小的數目，請你利用計算機的威力算出該數字。

注意：你需要提交的是一個整數，不要填寫任何多余的內容（比如：說明性文字）

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思路

　　去年比賽時被這題坑了，一直想用輪廓線動態規划去做。。。其實直接暴力搜索就可以。

　　依次枚舉每一個格子，每擺放滿一行，再嘗試去擺放下一行。在位置$(x,y)$處有兩種擺放方式：橫向和縱向。

　　當擺滿所有格子的時候就檢查是否出現某個2*2的小格子是同一種顏色，以及這種擺放方式是否已經計算過。我是采用二進制來表示每一種能鋪滿的情況，黃色用0表示，橙色用1表示，再用map來記錄和判斷是否重復計算。

 

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詳細代碼

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <map>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int w = 3, h = 10;
int graph[w][h];
int ans = 0;

map<int, int> Hash;

//檢查2x2格子顏色是否相同
bool check_color() {
    for(int i = 0; i < w; i++) 
    for(int j = 0; j < h; j++) {
        if(i+1 < w && j+1 < h) {
            if((graph[i][j]+graph[i][j+1]+graph[i+1][j]+graph[i+1][j+1]) % 4 == 0) 
                return false;
        }
    }
    return true;
}

void fill_with_tile(int x, int y) {
    if(graph[x][y] == -1) {
        //橫向擺放
        if(y+1 < h && graph[x][y+1] == -1) {

            for(int i = 0; i < 2; i++) {
                graph[x][y] = graph[x][y+1] = i;
                if(y == h-1) {  //鋪下一行
                    fill_with_tile(x+1, 0);
                } else {        //鋪當前行的下一個格子
                    fill_with_tile(x, y+1);
                }
                graph[x][y] = graph[x][y+1] = -1;
            }

        }
        //縱向擺放
        if(x+1 < w && graph[x+1][y] == -1) {
            for(int i = 0; i < 2; i++) {
                graph[x][y] = graph[x+1][y] = i;
                if(y == h-1) {  //鋪下一行
                    fill_with_tile(x+1, 0);
                } else {        //鋪當前行的下一個格子
                    fill_with_tile(x, y+1);
                }
                graph[x][y] = graph[x+1][y] = -1;
            }
        }
    } else {
        if(x == w-1 && y == h-1) { //成功鋪滿
            if(check_color()) {
                //判斷是否出現重復情況
                int ret = 0, bit = 1;
                for(int i = 0; i < w; i++)
                for(int j = 0; j < h; j++) {
                    ret += graph[i][j] * bit;
                    bit *= 2;
                }
                if(!Hash.count(ret)) {
                    Hash[ret] = 1;
                    ans++;
                }
            }
            return;
        }
        if(y == h-1) {          //鋪下一行
            fill_with_tile(x+1, 0);
        } else {                //鋪當前行的下一個格子
            fill_with_tile(x, y+1);
        }
    }
}

int main() {
    memset(graph, -1, sizeof(graph));
    fill_with_tile(0, 0);
    printf("%d\n", ans);
    return 0;
}

 

只需要1s就算出來答案了，合理的鋪放方式共有101466種。

 

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如有不當之處歡迎指出！