第八屆藍橋杯決賽 對局匹配

標題：對局匹配

小明喜歡在一個圍棋網站上找別人在線對弈。這個網站上所有注冊用戶都有一個積分，代表他的圍棋水平。
小明發現網站的自動對局系統在匹配對手時，只會將積分差恰好是K的兩名用戶匹配在一起。如果兩人分差小於或大於K，系統都不會將他們匹配。
現在小明知道這個網站總共有N名用戶，以及他們的積分分別是A1, A2, ... AN。
小明想了解最多可能有多少名用戶同時在線尋找對手，但是系統卻一場對局都匹配不起來(任意兩名用戶積分差不等於K)？

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輸入

第一行包含兩個個整數N和K。
第二行包含N個整數A1, A2, … AN。
對於30%的數據，1 <= N <= 10
對於100%的數據，1 <= N <= 100000, 0 <= Ai <= 100000, 0 <= K <= 100000

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輸出

一個整數，代表答案。

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樣例輸入：

10 0
1 4 2 8 5 7 1 4 2 8

樣例輸出：

6

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樣例輸入：

10 1
2 1 1 1 1 4 4 3 4 4

樣例輸出：

8

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資源約定：
峰值內存消耗 < 256M
CPU消耗 < 1000ms
請嚴格按要求輸出，不要畫蛇添足地打印類似：“請您輸入…” 的多余內容。
所有代碼放在同一個源文件中，調試通過后，拷貝提交該源碼。
注意: main函數需要返回0
注意: 只使用ANSI C/ANSI C++ 標准，不要調用依賴於編譯環境或操作系統的特殊函數。
注意: 所有依賴的函數必須明確地在源文件中 #include ， 不能通過工程設置而省略常用頭文件。

提交時，注意選擇所期望的編譯器類型。

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 思路

　　設共有$x$種分數，將其分為$k$組，每個分數滿足相鄰的分數值相差為$k$。正如樣例2中所示，共有4種分數，將其分為1組：{1,2,3,4},這個組中任何相鄰的兩個分數都不能同時取，因為它們相差$k$，該分組還對應了一個人數分組：{4,1,1,4},要想使得人數盡量多，而且分數不能相差1，那么選擇分數分別為{1,4},人數是4+4=8.

　　上述是只有一個分組的情況，當有多個分組的時候也是同樣的處理方法--盡量選擇不相鄰且人數最多。對於一個人數分別為$\{ {a_1},{a_2},...,{a_n}\}$的分組，可以利用動態規划算法來選擇最多人數，且都不相鄰。每個$a_i$只有選擇與不選擇兩種可能，假設$dp(i)$表示前i個人數能獲得的最多人數，那么選擇第i個人數的話，$dp(i)=dp(i-2)+a_i$，如果不選擇第i個人數的話，$dp(i)=dp(i-1)$，這樣得到轉移方程$dp(i) = \max \{ dp(i - 1),dp(i - 2) + {a_i}\} $。

　　注意，當k=0的時候特殊處理一下。

 

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 時間復雜度$O(MAX\_SCORE)$

AC代碼（借用@TQCAI的賬號已在藍橋杯官網AC）

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define MAX_SCORE 100000
const int maxn = 100000 + 5;
int cnt[MAX_SCORE+5], val[maxn], dp[maxn];
int n, k;

int main() {
    while(scanf("%d%d", &n, &k) == 2) {
        memset(cnt, 0, sizeof(cnt));
        int score, ans = 0;
        for(int i = 1; i <= n; i++) {
            scanf("%d", &score);
            cnt[score]++;
        }
        //特殊處理k=0的情況
        if(k == 0) {
            for(int i = 0; i <= MAX_SCORE; i++) {
                if(cnt[i]) ans++;
            }
        } 
        else {
            for(int i = 0; i < k; i++) {
                int m = 0;
                for(int j = i; j <= MAX_SCORE; j+=k) {
                    val[m++] = cnt[j];
                }
                dp[0] = val[0];
                for(int j = 1; j < m; j++) {
                    if(j == 1) dp[j] = max(dp[0], val[j]);
                    else dp[j] = max(dp[j-2] + val[j], dp[j-1]);
                }
                ans += dp[m-1];
            }
        }
        printf("%d\n", ans);
    }
    return 0;
}

 

特此感謝@TQCAI

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如有不當之處歡迎指出！