基本的拉格朗日乘子法(又稱為拉格朗日乘數法)，就是求函數 f(x1,x2,...) 在 g(x1,x2,...)=C 的約束條件下的極值的方法。其主要思想是引入一個新的參數 λ （即拉格朗日乘子），將約束條件函數與原函數聯系到一起，使能配成與變量數量相等的等式方程，從而求出得到原函數極值的各個變量的解。拉格朗日乘子是數學分析中同一名詞的推廣。
什么是拉格朗日乘數法
簡單地說，拉格朗日乘數法是用來最小化或最大化多元函數的。如果有一個方程f(x,y,z)，在這個方程里的變量之間不是獨立的，也就是說這些變量之間是有聯系的，這個聯系可能是某個方程g(x,y,z) = C；也就是g(x,y,z) = C定義了x,y,z之間的關系，這個關系對變量做出了一定的的限制，我們需要在這個限制下來最小化或最大化f(x,y,z)。
這里的最值不能簡單地使用臨界點，因為臨界點通常不滿足關系方程g。如何解決這個問題呢？當這個限制g(x,y,z)非常簡單的時候，我們可以解出其中一個變量的表達式，把這個表達式代入f(x,y,z)后求得最值，這也是中學階段常用的方法。但問題是，很多時候我們並不能解出x,y,z，因為關系方程g太復雜了，這就需要一個全新的方法求解，拉格朗日乘數法就是其中一種。
尋找最值
示例：找出雙曲線xy = 3上離原點最近的點。
如果(x, y)是曲線上的點，原點到該點的距離是：
求離原點最近的點實際上是求f(x,y)的最小值。可以使用一個更容易的方程去掉根號：
在計算最小值時候有一個限制是：
把這個較為簡單的例子用等高線圖表示：
很明顯，當f和g相切的時候，能得到f的最小值。如果把雙曲線看作自身的等高線，那么當f的等高線和g的等高線相切時，f值最小。實際上這也是找到最值的一般情形。
如果兩個等高線相切，則二者在切點處的切線也相同，也就是說它們的梯度向量平行，即：
如果兩個向量平行，則其中一個向量是另一個向量的倍數，由此得到：
這里的λ是一個常數，我們需要做的是找到這個λ和特定的(x,y)使得上式成立。這實際上是把2個變量加一個關系限制的最值問題轉換為一個含有3個變量的方程組。
現在已經通過梯度向量平行，將原來的最值問題轉換為一般的方程組，這個方程組被稱為拉格朗日方程組，它的解就是最值點。
接下來就是解方程組，可以將其看作是關於xy的矩陣方程：
一個滿足方程組的解是x = 0, y = 0，但這個解不滿約束條件g(x,y) = xy = 3；此外，只有當系數行列式的值是0時，方程才有多個解：
把兩個值分別代入方程組：
現在可以回答原問題，雙曲線xy = 3距離原點最近的點有兩個：(31/2, 31/2)和(-31/2, -31/2)。
在這個例子中，λ就是拉格朗日乘子。
最小值和最大值
拉格朗日乘數法並不會告訴我們最值的類型，結果可能是最大值、最小值或鞍點，由於存在限制條件，這里也不能像《多變量微積分3——二元函數的極值》那樣使用二階導數判斷。那么如何判斷是最大值還是最小值呢？只能通過將拉格朗日方程組的解代入問題方程f來判斷。舉例來說，如果有三組解，代入f后分別是4,6,9，在不存在邊界值時，4就是最小值，9就是最大值；如果存在邊界，還需要比較邊界值。在雙曲線的例子中，由於能夠確定邊界在無窮遠處，所以其結果就是最小值。
表面積最小的金字塔
給定金字塔的體積和底面積（底面的三邊確定，分別是a1,a2,a3），如何建造一個表面積最小的金字塔？
如上圖所示，將金字塔模型放入三維坐標系中，底面對應xy軸。由於體積和底面積已知，根據體積公式，高也是定值，那么實際問題就是回答Q點的位置。一種思路是利用向量的叉積計算三角形的面積（參考《線性代數筆記4——向量3（叉積）》）：
展開后將得到一個很長的式子，看起來並不是什么好方法。現在換一種思路，利用三角形面積的幾何公式，如下圖所示：
h1是三角形PP1P2的高，設點Q是(x,y,0)，則：
這就轉換成了有三個變量的函數，目標是求得f的最小值：
接下來需要尋找約束條件g。由於a1⊥h1且a1⊥h，所以a1垂直於h1和h所在的平面，a1⊥u1。
上圖可知：
這就是約束條件g：
知道了f和g，就可以使用拉格朗日乘數法：
當Q點的位置距離三邊距離相等時，金字塔的表面積最小。
備注：
f對u1偏導將u2和u3看作常數，這相當於求f(u)的導數，
綜合示例
示例1
在橢圓x2 + 4y2 = 4中有內接的矩形，該矩形的邊平行於x軸和y軸，找出這些矩形中周長最大的一個。
如上圖所示，長方形的周長函數是f(x,y) = 4x + 4y，約束函數g(x,y) = x2 + 4y2 = 4
由於拉格朗日乘數法無法確定最值的類型，所以還要對函數邊界進行計算。當P在橢圓上移動時，如果正好落在x軸上，則長方形退化成直線，此時 
；另一個極值是
，所以判定
是最大值，此時長方形的一點的坐標是
示例2
計算f(x,y,z)= x2 + x + 2y2 + 3z2在約束條件x2 + y2 + z2 = 1下的最值。
由於約束條件是球體，所以不存在邊界，只需把這些解導入f即可。當點在(-1,0,0)時，f最小，f = 0；當點在(1/4,0,±151/2/4)時f最大，f = 25/8
出處：微信公眾號 "我是8位的"
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