1.定義：
回溯算法是一種在窮舉查找基礎上的增強變形。主要是在嘗試搜索的過程中，每次只構造解的一個分量，當發現部分構造解滿足求解條件時，就接受下一個分量所做的第一個合法選擇；當發現部分構造解不滿足求解條件時，就回溯返回，嘗試另外的路徑。這種走不通就回頭的算法稱為回溯算法。
主要思想：通過對所做的選擇構造一顆狀態空間樹，按照深度優先的策略，從根開始深度搜索狀態空間樹。當搜索到某一結點，先判斷該節點是否可以構成完整解，如果可以就繼續向下搜索；否則就逐層返回回溯，嘗試其他路徑。（隱式圖的深度優先搜索）
核心思想：個人以為，回溯法的核心是
狀態空間樹的構造（可能是隱式構造的），一旦確立了狀態空間樹，就可以直接得出問題的解。狀態空間樹的構造思想是：按照深度優先的方式，如果當前節點的下一個分量所構造的部分解可以導致完整解，就生成節點的子女，並添加下一個分量的第一個合法選擇；否則就回溯到該節點的父母，考慮部分解的下一個分量選擇。
2.回溯算法的一般步驟（解決某些約束下的最優解）：
（1）確定問題的解空間（包含所有解的一顆狀態空間樹），確定完全解的形式，以及部分構造解無法構成完全解的剪枝規則。（
ps：問題的解空間（狀態空間樹）是在DFS的過程中動態生成的）
（2）確定節點（分量）的擴展規則，即下一個節點的選擇規則。 （
ps：如曼哈頓問題中，按照字母順序選擇下一個分量）
（3）以深度優先的方式搜索解空間，並在搜索的過程中用
剪枝函數判斷該節點是否可以生成完全解。如果可以，則進入該節點的子樹下一步搜索（構造下一個分量）；如果不能，則跳過該節點的子樹（不再生成下一個分量），逐層回溯。（
ps：剪枝函數包括約束函數和界限函數，分別剪去不滿足約束的節點和不能得到最優解的函數）
3.回溯的算法框架：
（1）遞歸的方式：
int x[n]; void backtrack(int t) { if(t>n) //到達葉子節點，輸出結果，x是可行解 output(x); else { for i = 1 to k //該節點的子節點（分量的所有下一個分量） { x[t] = value(i); //取出子節點的值 if(constraint(t) && bount(t) ) //剪枝函數：判斷約束和界限 backtrack(t+1); //可以生成完全解，繼續遞歸下去 } } }
特點：思路簡單，設計簡單，但算法時間效率很差。
（2）遞推的方式：
void backtrack() { int t=1; while(t>0) { if(existSubNode(t)) //存在子節點：該結點還有可以構造的節點（下一個分量） { for i = 1 to k { x[t] = value(i); //相當於在此處建立一個結點 if(constraint(t) && bount(t) ) //剪枝函數判斷約束和界限 { if(isResult(t) ) //得到了一個結果，輸出 output(x); else //還沒有得到結果，繼續向下搜索 t++; } else { eraseSubNode(t) //該結點無法構成完全解，故刪去該結點,並設該結點不可再作為子節點。 } } } else { eraseSubNode(t); //該結點沒有子結點，也不能完全解，所以刪去該結點。 t--; //進行回溯 } } }
特點：設計復雜，但算法時間效率很高。
4.用回溯的思想實現背包問題：
用回溯算法解決01背包問題，步驟：
（1）問題的解空間是子集樹，節點表示前 t 個物品的存放狀態，樹枝的值表示第 t 個物品有沒有放入背包。完全解的形式是01組成的N個數，避免無法構造完全解的約束剪枝規則是：當前背包的物品重量CurWeight加新增的物品重量不能超過背包的承重C（CurWeight+w[t]<C）。
當物品數為3時，解空間（狀態空間樹）如下：
（2）節點擴展規則：數字遞增順序，也就是說第t個物品放入背包和沒有放入背包的狀態，即 0 和 1.
（3）回溯搜索：如果搜索到葉子節點，表示一條路徑搜索結束，如果存在更優解則記錄。
如果沒有搜索到葉子節點，則遍歷其子節點，滿足剪枝條件時繼續向下搜索，不滿足時回溯。
#include <iostream> using namespace std; #define N 4 //物品總數 #define C 5 //背包的承重 int w[N] = {2,1,3,2}; //物品重量 int v[N] = {12,10,20,15}; //物品價值 int CurWeight = 0; //當前總重量 int CurValue = 0; //當前總價值 int x[N] ={0,0,0}; //當前的背包選取情況（1表示選取，0表示不選取） int MaxValue = 0; //最大價值 int MaxPack[N] = {0,0,0}; //最大價值下的背包選取情況（1表示選取，0表示不選取） void backtrack(int t) { if(t >= N) //到達葉子處，說明已經求得一個滿足約束的完全解，接下來判斷是否最優 { if(CurValue > MaxValue) { MaxValue = CurValue; for(int i=0;i<N;i++) MaxPack[i] = x[i]; } } else //沒到葉子處，還要繼續向下搜索下去 { for(int i=0;i<=1;i++) { x[t] = i; //01背包問題中，每個物品的存放狀態是 0 或 1。此處表示第 t 個物品在背包中的狀態為 0 或 1。 if(x[t] == 0) //第 t 個物品沒有放入背包，不進行剪枝判斷 { backtrack(t+1); } else //第 t 個物品放入背包，要進行剪枝判斷 { if(CurWeight + w[t] <= C) //剪枝判斷為滿足約束條件 { CurWeight += w[t]; //當前結點滿足約束，則增加結點的值到當前值中 CurValue += v[t]; backtrack(t+1); //繼續向下搜索 CurWeight -= w[t]; //為了回溯到父節點的狀態，要將子節點新增的內容刪掉 CurValue -= v[t]; } } } } } int main() { backtrack(0); cout<<"the max value pack combination: "; for(int i=0; i<N; i++) cout<<MaxPack[i]<<" "; cout<<"\nthe max value: "<<MaxValue<<endl; }