搜索——深度優先搜索（DFS）

　　設想我們現在身處一個巨大的迷宮中，我們只能自己想辦法走出去，下面是一種看上去很盲目但實際上會很有效的方法。

　　以當前所在位置為起點，沿着一條路向前走，當碰到岔道口時，選擇其中一個岔路前進。如果選擇的這個岔路前方是一條死路，就退回到這個岔道口，選擇另一個岔路前進。如果岔路口存在新的岔道口，那么仍然按上面的方法枚舉新岔道口的每一條岔道。這樣，只要迷宮存在出口，那么這個方法一定能夠找到它。

　　也就是說，當碰到岔道口時，總是以“深度”作為前進的關鍵詞，不碰到死胡同就不回頭，因此這種搜索的方式稱為深度優先搜索（DFS）。

 

　　接下來講解一個例子。

　　有 n 件物品，每件物品的重量為 w[i]，價值為 c[i]。現在需要選出若干件物品放入一個容量為 V 的背包中，使得在選入背包的物品重量和不超過容量 V 的前提下，讓背包中物品的價值之和最大，求最大價值。(1≤n≤20)

　　在這個問題中，對每件物品都有選或者不選兩種選擇，而這就是所謂的“岔道口”。那么什么是“死胡同”呢？題目要求選擇的物品重量總和不能超過 V，因此一旦選擇的物品重量總和超過 V，就會到達“死胡同”，需要返回最近的“岔道口”。

　　DFS 函數的參數中必須記錄當前處理的物品編號 index，和在處理當前物品之前，已選物品的總重量 sumW 與 總價值 sumC。於是 DFS 函數如下：

void DFS(int index, int sumW, int sumC) {...}

 

 

　　思路：

•  如果選擇不放入 index 號物品，那么 sumW 與 sumC 就將不變，接下來處理 index+1 號物品，即前往 DFS(index+1, sumW, sumC) 這條分支；
•  如果選擇放入 index 號物品，那么 sumW=sumW+w[index], sumC=sumC+c[index]，接着處理 index+1 號物品，即前往 DFS(index+1, sumW+w[index], sumC+c[index]) 這條分支；
•  一旦 index 增長到了 n，則說明已經把 n 件物品處理完畢。此時記錄的 sumW 和 sumC 就是所選物品的總重量和總價值。如果 sumW 不超過 V 且 sumC 大於記錄的最大總價值 maxValue，就說明當前的這種選擇方案可以得到更大的價值，於是用 sumC 更新 maxValue。　　　　　　

　　代碼如下：

/*
    搜索_DFS 
    有 n 件物品，每件物品的重量為 w[i]，價值為 c[i]。現在需要選出若干件物品
        放入一個容量為 V 的背包中，使得在選入背包的物品重量和不超過容量 V 的前提下，
        讓背包中物品的價值之和最大，求最大價值。(1≤n≤20)
*/

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <math.h>
#include <stdlib.h>
#include <time.h>
#include <stdbool.h>

#define maxn 30
int n, V, maxValue;    // 物品減數，背包容量，最大價值
int w[maxn], c[maxn];    // 每件物品的重量，價值 

// index 當前處理的物品編號，sumW 和 sumC 為當前總重量和總價值 
void DFS(int index, int sumW, int sumC) {
    if(index == n) {    // 已經把 n 件物品處理完畢(死胡同） 
        if(sumW <= V && sumC > maxValue) {
            maxValue = sumC;    // 有更好的選擇 
        }
        return; 
    }
    // 岔道口
    DFS(index+1, sumW, sumC);    // 不選 Index 號物品
    DFS(index+1, sumW+w[index], sumC+c[index]);    // 選 index 號物品 
}

int main() {
    scanf("%d %d", &n, &V);
    int i;
    for(i=0; i<n; ++i) {
        scanf("%d", &w[i]);        // 每件物品的重量 
    } 
    for(i=0; i<n; ++i) {
        scanf("%d", &c[i]);        // 每件物品的價值 
    }
    DFS(0, 0, 0);
    printf("%d\n", maxValue); 

    return 0;
}

 

 

　　在上述代碼中，總是把 n 件物品的選擇全部確定之后才去更新最大價值，但是事實上忽視了背包容量不超過 V 這個特點。也就是說，完全可以把對 sumW 的判斷加入“岔道口”中，只有當 sumW ≤ V 時才進入岔道，這樣效率會高很多。代碼如下：

// index 當前處理的物品編號，sumW 和 sumC 為當前總重量和總價值 
void DFS1(int index, int sumW, int sumC) {
    if(index == n) {    // 已經把 n 件物品處理完畢(死胡同） 
        return; 
    }
    // 岔道口
    DFS(index+1, sumW, sumC);    // 不選 Index 號物品
    // 只有加入 index 物品后總重量小於 V 才可以繼續 
    if(sumW + w[index] <= V) {
        if(sumC + c[index] > maxValue) {
            maxValue = sumC + c[index];
        }
        DFS(index+1, sumW+w[index], sumC+c[index]);    // 選 Index 號物品
    }
}

 

 

 

　　再來看另外一個問題。

　　給定 N 個整數（可能有負數），從中選擇 K 個數，使得這 K 個數之和恰好等於一個給定的整數 X；如果有多種方案，選擇它們中元素平方和最大的一個。

　　與之前的問題類似，此處仍然需要記錄當前處理的整數編號 index；由於要求恰好選擇 K 個數，因此需要一個參數 nowK 來記錄當前已經選擇的數的個數；另外，還需要參數 sum 和 sumSqu 分別記錄當前已選整數之和與平方和。於是 DFS 函數如下：

void DFS(int index, int nowK, int sum, int sumSqu) {...} 

 

 

　　思路：

•  需要一個數組 temp，用以存放當前選擇的整數。
•  當試圖進入“選 index 號數”這條分支時，就把 A[index] 加入 temp 中；
•  當這條分支結束時，就還原 temp 數組，使他不影響“不選 index 號數”這條分支。
•  如果當前已選擇了 K 個數，且這 K 個數之和恰為 x 時，就將平方和與已有的最大平方和 maxValue 作比較，如果更大，更新 maxValue 和數組 ans。　　

 

　　代碼如下：

/*
    DFS_N個整數選K個 
    給定 N 個整數（可能有負數），從中選擇 K 個數，使得這 K 個數之和
    恰好等於一個給定的整數 X；如果有多種方案，選擇它們中元素平方和最大的一個。
*/

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <math.h>
#include <stdlib.h>
#include <time.h>
#include <stdbool.h>

#define maxn 30
// 序列A中n個數選k個數使得和為x，最大平方和為maxSumSqu 
int n, k, x, maxSumSqu=-1, A[maxn]; 
int temp[maxn]={0}, ans[maxn]={0};    // 臨時方案，平方和最大的方案

void DFS(int index, int nowK, int sum, int sumSqu) {
    if(nowK == k && sum == x) {        // 找到K個數和為x 
        if(sumSqu > maxSumSqu) {    // 更優方案 
            maxSumSqu = sumSqu;        // 更新 maxValue 和數組 ans
            int i;
            for(i=0; i<k; ++i) {
                ans[i] = temp[i];
            }
        }
    }
    // 已經處理完n個數，選擇超過k個數，和大於x 
    if(index==n || nowK>k || sum>x)    return; 
    // 選 index 號數
    temp[nowK] = A[index]; 
    DFS(index+1, nowK+1, sum+A[index], sumSqu+A[index]*A[index]);
    temp[nowK] = 0; 
    // 不選 index 號數
    DFS(index+1, nowK, sum, sumSqu); 
} 

int main() {
    scanf("%d %d %d", &n, &k, &x);
    int i;
    for(i=0; i<n; ++i) {
        scanf("%d", &A[i]);    // n個數 
    }
    DFS(0, 0, 0, 0);
    for(i=0; i<k; ++i) {    // 最優方案 
        printf("%d ", ans[i]);
    }
    printf("%d\n", maxSumSqu);    // 最優方案的平方和 

    return 0;
}