單源最短路：Bellman-Ford算法 及 證明

 

描述：

求圖中某一點到其他任一點的最短距離。

操作：

1. 初始化

結果保存在一個dist數組里，源點的結果初始化為0，其他初始化為無窮大（如INT32_MAX）。

2. 計算：

兩重for循環，第一層，迭代n - 1次（n為節點數）；

　　　　　　第二層，遍歷每條邊，如果其源點對應的距離加上邊權重小於終點對應距離，則更新終點最短距離；

3. 判斷負權環：

當步驟二計算完時，遍歷左右邊，看是否存在某條邊(u, v)，有d[u] + w(u, v) < d[v]，即還可以更新，如存在則存在負權環。

證明：

求最短路證明：

一。假設某點與源點不連通。

由於初始化時，除了源點距離初始為0之外，其他點都初始化為無窮大，如果不連通，則某點所在的連通圖的任一條邊都不會導致更新。

二。假設x點與源點連通。

每個點都存在自己的最短路，為（e0, e1, e2, ..., ek）。

顯然，源點只要經過n - 1條邊就可到達任一點；　　（一）

現只需證明，對x點，每次迭代（松弛），至少有一條最短邊ei的距離被找到，除非已經到達x點。　　（二）

　　對於第一次迭代，必定更新和源點相連的所有邊（如果是有向圖，則是指出去的），由於源點距離是0，和其相連的都是無窮大。

　　　　而這些往外連的邊中，必有一條是x點的最短路上起始的一條邊。

　　則設有點k，這個點是x最短路上的一個點，下一次松弛，必能找到下一個點，且也是x的最短路上的一個點：

　　　　由於下一次松弛將更新與k相連的所有點。

有（一）（二）可得，上面兩次迭代可以找出最短路。

而關於負權環的判斷：

由於負權環的存在，可以通過不斷繞着走從而減小環上各個點的距離。

所以即使迭代完成，當判斷是否還能更新時，會發現還是可以更新的，這就判斷了存在負權環。

代碼：

簡單輸出最短路，如果要路徑可以為每個節點儲存一個最后一次訪問的節點，逆向遍歷一遍即可得到路徑。

#include <string>
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

struct Edge {
    int start;
    int end;
    int weight;
};

bool BellmanFord() {
    int source = 0;
    int vex_num, edge_num;
    cout << "Input the number of vertexs and edges:" << endl;
    cin >> vex_num >> edge_num;

    vector<int> dist(vex_num, INT32_MAX);
    dist[source] = 0;

    vector<Edge> e;
    for (int i = 0; i < edge_num; i++) {
        Edge et;
        cin >> et.start >> et.end >> et.weight;
        e.push_back(et);
    }

    for (int i = 0; i < vex_num - 1; i++)
        for (int j = 0; j < edge_num; j++)
            if (dist[e[j].start] + e[j].weight < dist[e[j].end] && dist[e[j].start] != INT32_MAX)
                dist[e[j].end] = dist[e[j].start] + e[j].weight;

    for (int i = 0; i < dist.size(); dist++)
        cout << dist[i] << endl;
}