單源最短路徑---Bellman-Ford算法

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Dijkstra

Bellman-Ford

SPFA

Floyd

1.Dijkstra算法的局限性

像上圖，如果用dijkstra算法的話就會出錯，因為如果從1開始，第一步dist[2] = 7, dist[3] = 5;在其中找出最小的邊是dist[3] = 5;然后更新dist[2] = 0，最終得到dist[2] = 0,dist[3] = 5，而實際上dist[3] = 2；所以如果圖中含有負權值，dijkstra失效

2.Bellman-Ford算法思想

適用前提：沒有負環（或稱為負權值回路），因為有負環的話距離為負無窮。

構造一個最短路徑長度數組序列dist¹[u] dist²[u]...dist^n-1[u]，其中：
dist¹[u]為從源點v0出發到終點u的只經過一條邊的最短路徑長度，並有dist¹[u] = Edge[v0][u]

dist²[u]為從源點v0出發最多經過不構成負權值回路的兩條邊到終點u的最短路徑長度

dist³[u]為從源點v0出發最多經過不構成負權值回路的三條邊到終點u的最短路徑長度

................

dist^n-1[u]為從源點v0出發最多經過不構成負權值回路的n-1條邊到終點u的最短路徑長度

算法最終目的是計算出dist^n-1[u]，即為源點到頂點u的最短路徑長度

初始：dist¹[u] = Edge[v0][u]

遞推：dist^k[u] = min(dist^k-1[u], min{dist^k-1[j] + Edge[j][u]})（松弛操作，迭代n-2次）

3.本質思想：
在從dist^k-1[u]遞推到dist^k[u]的時候，Bellman-Ford算法的本質是對每條邊<u, v>進行判斷：設邊<u, v>的權值為w(u, v)，如果邊<u, v>的引入會使得dist^k-1[v]的值再減小，就要修改dist^k-1[v]，即：如果dist^k-1[u] + w(u, v) < dist^k-1[v],，那么dist^k[v] = dist^k-1[u] + w(u, v)，這個稱為一次松弛

所以遞推公式可改為：

初始：dist⁰[u] = INF dist⁰[v0] = 0（v0是源點）

遞推：對於每條邊(u, v) dist^k[v] = min(dist^k-1[v], dist^k-1[u] + w(u, v))（松弛操作，迭代n-1次）

如果迭代n-1次后，再次迭代，如果此時還有dist會更新，說明存在負環。

 無負環的時候，迭代更新次數最多為n-1次，所以設置一個更新變量可以在不更新的時候直接跳出循環

拓展：

Bellman-Ford算法還能用來求最長路或者判斷正環，思路是dist數組含義是從原點出發到其他每個頂點的最長路徑的長度，初始時，各個頂點dist為0，在從dist^k-1[u]遞推到dist^k[u]的時候，Bellman-Ford算法的本質是對每條邊<u, v>進行判斷：設邊<u, v>的權值為w(u, v)，如果邊<u, v>的引入會使得dist^k-1[v]的值再增加，就要修改dist^k-1[v]，即：如果dist^k-1[u] + w(u, v) > dist^k-1[v],，那么dist^k[v] = dist^k-1[u] + w(u, v)。例題：POJ-1860

4.代碼實現：時間復雜度O(nm)(n為點數，m為邊數)

輸入：

7 10
0 1 6
0 2 5
0 3 5
1 4 -1
2 1 -2
2 4 1
3 2 -2
3 5 -1
4 6 3
5 6 3

輸出：

從0到1距離是： 1   0->3->2->1
從0到2距離是： 3   0->3->2
從0到3距離是： 5   0->3
從0到4距離是： 0   0->3->2->1->4
從0到5距離是： 4   0->3->5
從0到6距離是： 3   0->3->2->1->4->6
不存在負環

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<stack>
#include<map>
#include<sstream>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 1000 + 10;
const int INF = 1 << 25;
int T, n, m, cases;
struct edge
{
    int u, v, w;
};
edge a[maxn];
int path[maxn], d[maxn];
bool Bellman(int v0)
{
    for(int i = 0; i < n; i++)d[i] = INF, path[i] = -1;
    d[v0] = 0;
    for(int i = 0; i < n; i++)//迭代n次，如果第n次還在更新，說明有負環
    {
        bool update = 0;
        for(int j = 0; j < m; j++)
        {
            int x = a[j].u, y = a[j].v;
            //cout<<x<<" "<<y<<" "<<a[j].w<<endl;
            if(d[x] < INF && d[x] + a[j].w < d[y])
            {
                d[y] = d[x] + a[j].w;
                path[y] = x;
                update = 1;
                if(i == n - 1)//說明第n次還在更新
                {
                    return true;//返回真，真的存在負環
                }
            }
        }
        if(!update)break;//如果沒更新了，說明已經松弛完畢
    }
    for(int i = 0; i < n; i++)
    {
        if(i == v0)continue;
        printf("從%d到%d距離是：%2d   ", v0, i, d[i]);
        stack<int>q;
        int x = i;
        while(path[x] != -1)
        {
            q.push(x);
            x = path[x];
        }
        cout<<v0;
        while(!q.empty())
        {
            cout<<"->"<<q.top();
            q.pop();
        }
        cout<<endl;
    }
    return false;
}
int main()
{
    cin >> n >> m;
    for(int i = 0; i < m; i++)cin >> a[i].u >> a[i].v >> a[i].w;
    if(Bellman(0))cout<<"存在負環"<<endl;
    else cout<<"不存在負環"<<endl;
    return 0;
}