利用二分法和牛頓法開根號

一.問題描述：給定一個數，如何求它的平方根(不能使用內置函數，如sqrt()函數)。

二.題解：

　　這屬於比較經典的一道題目，通常有兩種方法：二分法和牛頓法，下面是詳細描述。

方法1：二分法，這是比較容易想到的一種方法。通過比較中間值與最終值的大小來改變中間值，最終在滿足某個精度的情況下返回這個中間值作為最終結果。代碼如下：

#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
//n是大於等於1的數
double MySqrt(double n)
{
    double _max = n; //此處一定為浮點數，不要用整數
    double _min = 0.0;
    double p = 1e-5; //此處為精度，當滿足該精度時，返回該近似值
    double  mid = (_max + _min) / 2.0;
    while(fabs(mid * mid - n) > p)//此處是浮點數之差的絕對值與精度進行比較
    {
        if(mid * mid < n)
            _min = mid;
        else if(mid * mid > n)
            _max = mid;
        else
            return mid;
        mid = (_max + _min) / 2.0;
    }
    return mid;
}
int main()
{
    cout<<MySqrt(80)<<endl;
}

 

很容易看出，該算法的時間復雜度為O(logN)，空間復雜度為O(1)。而且最終結果的精度取決於精度p的設置。

需要注意的是，對於n小於1的時候，二分法就不適用了，因為mid一定是小於1的數，而mid*mid一定會變得更小，導致區間始終向0靠近(向左靠近)，不符合二分法的特征。

注：這里面的變量類型都是浮點型！！

方法2：1.牛頓法，牛頓迭代法（Newton's method）又稱為牛頓-拉夫遜方法（Newton-Raphson method），它是牛頓在17世紀提出的一種在實數域和復數域上近似求解方程的方法。多數方程不存在求根公式，因此求精確根非常困難，甚至不可能，從而尋找方程的近似根就顯得特別重要。方法使用函數f(x)的泰勒級數的前面幾項來尋找方程f(x) = 0的根。牛頓迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大優點是在方程f(x) = 0的單根附近具有平方收斂，而且該法還可以用來求方程的重根、復根。另外該方法廣泛用於計算機編程中。

設r是f(x) = 0的根，選取x0作為r初始近似值，過點（x0,f(x0)）做曲線y = f(x)的切線L，L的方程為y = f(x0)+f'(x0)(x-x0)，求出L與x軸交點的橫坐標 x1 = x0-f(x0)/f'(x0)，稱x1為r的一次近似值。

過點（x1,f(x1)）做曲線y = f(x)的切線，並求該切線與x軸交點的橫坐標 x2 = x1-f(x1)/f'(x1)，稱x2為r的二次近似值。重復以上過程，得r的近似值序列，其中x(n+1)=x(n)－f(x(n))/f'(x(n))，稱為r的n+1次近似值，上式稱為牛頓迭代公式。

2.而開根號的問題可以看作求解f(x) = x² - a = 0的根。

(1)在曲線f(x)=x^2-a上任取一點(x0,f(x0))，x0≠0，該點的切線方程為： 
 
(2)該切線與x軸的交點為： 
 

(3)不斷用新的交點來更新原來的交點(即逼近的過程) 
根據牛頓迭代的原理，可以得到以下的迭代公式：

　　　　　　　　　　

根據這個公式，可實現該算法，代碼如下：

#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
double MySqrt(double n)
{
    double x = 1.0;//設置初值
    double p = 1e-5;//設置精度
    while(fabs(x*x - n) > p)
    {
        x = (x + n / x) / 2.0;
    }
    return x;
}
int main()
{
    cout<<MySqrt(82)<<endl;
}

牛頓法同二分法一樣，時間復雜度為O(logN)，空間復雜度為O(1)。牛頓法每次迭代的誤差都會至少小一半，所以復雜度最多是O(logN)。根據牛頓法的原理可知，迭代的次數越多，近似值越逼近真實值，當然我們會通過設置精度來限制它的迭代次數。

三.牛頓法與二分法的比較：

1.我通過測試82的平方根來比較這兩種方法：

二分法：

牛頓法：

可以看出，當我設置兩種算法的精度一樣時，二分法迭代次數為24次，而牛頓法的迭代次數為7次;且牛頓法的准確率更高。

所以說，牛頓法與二分法相比，速度更快、准確率更高。

2.牛頓法需要設置初值(即初始的x₀)，有時問題的答案的准確率很依賴於初值的設定(可參考：https://www.zhihu.com/question/20690553)；而二分法不需要設置初值，所以穩定性較強。