二分法

二分法有兩種，二分查找和二分答案。

二分查找

整數二分

整數二分的實質不在於單調性，而是看區間能否划分為兩塊，使得一塊滿足某種性質，而另一塊不滿足。

1.查找紅色區域最后的值(滿足條件的最后一個值)：

​ check(mid):
1. true -> [mid, R]; --- l = mid
2. false -> [L, mid - 1]; --- r = mid - 1

2.查找藍色區域第一個值(滿足條件的第一個值):

​ check(mid):

1. true -> [L, mid]; --- r = mid
2. false -> [mid + 1, R]; --- l = mid + 1

二分查找想不出的話可以畫一畫圖，確定一下兩個分段。

二分查找模板:

bool check (int x) {/* ... */} // 檢查x是否滿足某個條件

// 區間[l, r]被划分為[l, mid]和[mid+1, r]:(滿足條件的第一個元素)
int bsearch_1 (int l, int r) {
    while (l < r) {
        int mid = l + r >> 1;
        if (check(mid)) r = mid;
        else l = mid + 1;
    }
    return l;
}

// 區間[l, r]被划分為[l, mid-1]和[mid, r]:(滿足條件的最后一個元素)
int bsearch_2 (int l, int r) {
    while (l < r) {
        int mid = l + r + 1 >> 1;
        if (check(mid)) l = mid;
        else r = mid - 1;
    }
    return l;
}

浮點數二分

bool check (double x) {/* ... */} // 檢查x是否滿足某個條件

double bsearch_3 (double l, double r) {
    const double eps = 1e-6; // eps表示精度，取決於題目的精度要求
    while (r - l > eps) {
        double mid = r + l >> 1;
        if (check(mid)) r = mid; // r和l可互換，取決於題目要求
        else l = mid;
    }
    return l;
}

二分答案

根據答案的單調性（可滿足性）把答案所取范圍二分，每次取中間判斷是否可以滿足題目要求，滿足則記錄當前數值，直至二分完畢，則記錄的值為二分答案值。

例題：