詳解 最大子段和

題目名稱：最大子段和

 

題目描述：給出一段序列，選出其中連續且非空的一段使得這段和最大。

輸入格式：

第一行是一個正整數N，表示了序列的長度。

第2行包含N個絕對值不大於10000的整數A[i]，描述了這段序列。

輸出格式：

僅包括1個整數，為最大的子段和是多少。子段的最小長度為1。

 

枚舉

 最蠢的辦法，枚舉左端點和右端點，再求和，用一個max儲存歷史的最大值，就可以了。時間復雜度O(n³)。

#include <stdio.h>
#include <math.h>
#include <string.h>
int _Max(int x,int y){return x>y?x:y;}
int num[10001],sum=0;
int max=0;
int main(){
    int n;
    scanf("%d",&n);
    int i,j;
    for(i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d",&num[i]);
    }
    for(i=1;i<n;i++){
        for(j=i+1;j<=n;j++){
            sum=0; 
            for(int k=i;k<=j;k++)
                sum+=num[k];
            max=_Max(sum,max);
        }
    }
    printf("%d\n",max);
    return 0;
}

在枚舉的基礎上，我們可以發現：求一個和為最大的子序列，那么作為任意一個子序列，若它的左端點是第i個元素，右端點是第j個元素，則它其中的元素之和可以表示為第1~j個元素和第1~i個元素之差。

這就是一個預處理。可以在枚舉的基礎上減少一些時間，但並不是最優，也是O(n²)。

 

分治

用分治求最大子段和應首先將這整個問題划分成規模更小的子問題，可以取中點，將這一個序列划分成長度相等的兩個序列。對於此時的最大子段和，會出現3種情況，即：

1.最大子段和在第一個序列中，即在我們所取的中點左邊。

2.最大子段和在第二個序列中，即在我們所取的中點右邊；

3.最大子段和在第一個序列與第二個序列之間，即我們取的這個點被包含在這個子段中。這時，我們就應該繼續以這個子段為基礎，繼續划分，知道不能划分為止。　　

(其實上面兩種情況也是要划分的)(滑稽)

將3種情況的最大子段和合並，取三者之中的最大值就為問題的解。時間復雜度為O(nlogn)。

#include <stdio.h>
#include <math.h>
#include <string.h>
int n,a[20001]; 
int Sum(int left, int right){
    int sum=0;
    if(left==right){ 
        if(a[left]>0)
            sum=a[left];  
        else sum=0;  
    }  
    else{  
        int mid=(left+right)/2;
        int l_sum=Sum(left,mid);
        int r_sum=Sum(mid+1,right);
        int s1=0,s2=0;
        int lefts=0,rights=0;  
        for(int i=mid;i>=left;i--){
            lefts+=a[i];  
            if(lefts>s1)s1=lefts;
        }
        for(int j=mid+1;j<=right;j++){  
            rights+=a[j];
            if(rights>s2)s2=rights;  
        }
        sum=s1+s2;
        if(sum<l_sum)sum=l_sum;
        if(sum<r_sum)sum=r_sum;
    }
    return sum;
}
int main(){
    scanf("%d",&n);
    int i,j;
    for(i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d",&a[i]);
    printf("%d",Sum(1,n));
    return 0;
}

 

貪心

和動態規划(乖乖的先看下面吧)的思路類似，博主看了很久，覺得好像沒有區別，所以就不講思路了。自己看代碼思考吧。

#include <stdio.h>
#include <math.h>
#include <string.h>
int main(){
    int n,max=-2147483645,num,sum=0;
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d",&num);
        sum+=num;
        if(sum>max)max=sum;
        if(sum<0)sum=0;
    }
    printf("%d",max);
    return 0;
}

 

動態規划

枚舉以從1到i為右端點的子段，用數組number[i]來保存第i個元素的值，sum[i]來保存以第i個元素結尾的最大子段和。顯然，我們要求的就是sum整個數組中最大的一個數了。遞歸的邊界條件：若i=1，則sum[i]=1。因為只有它一個元素。若i>=1，最優的整個子段只有這個元素本身。因為sum[i]是用來保存以第i個元素為右端點的最大子段和，所以這時的最大子段和就是number[i]和number[i]+sum[i-1]的比較，比較取最大即可。為什么要加上sum[i-1]呢？因為相比於以第i-2個元素結尾的子段來說，以i-1個元素結尾的子段顯然要更長，結果更大的可能性也更大。狀態轉移方程：sum[i]=max(sum[i-1]+number[i],numberp[i]);  (i>1)

#include <stdio.h>
#include <math.h>
#include <string.h>
int _Max(int x,int y){return x>y?x:y;}
int number[200001],sum[200001];
int main(){
    int i,j;
    int n,maxx=0;
    scanf("%d",&n);
    for(i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d",&number[i]);
    sum[1]=number[1];
    maxx=sum[1];
    for(i=2;i<=n;i++){
        sum[i]=_Max(sum[i-1]+number[i],number[i]);
        maxx=_Max(sum[i],maxx);
    }
    printf("%d",maxx);
}

 

其實這個題目還有很多方法，這里就不介紹其他的了。