線段樹區間最大子段和
應用場景
支持單點修改時維護區間的最大字段和
核心思想
利用線段樹的分治思想,區間內的子段可以分為完全在左側的,穿過中點的和完全在右側的。
實現
維護區間最大字段和基於不帶lazy_tag的線段樹,只需要將狀態由和變為結構體即可。
首先,我們定義一種結構體,包含區間和,從左側開始的最大字段和,從右側開始的最大字段和與沒有要求的最大字段和。
struct node{
LL sum,maxl,maxr,maxv;
node(){
sum=maxl=maxr=maxv=0;
}
};
對於一個區間,我們只需要將其分成左右兩個部分,按照下面的代碼更新即可。
inline void push_up(int x){
A[x].sum=A[x<<1].sum+A[x<<1|1].sum;
A[x].maxl=max(A[x<<1].maxl,A[x<<1].sum+A[x<<1|1].maxl);
A[x].maxv=max(A[x<<1].maxr+A[x<<1|1].maxl,max(A[x<<1].maxv,A[x<<1|1].maxv));
A[x].maxr=max(A[x<<1|1].maxr,A[x<<1].maxr+A[x<<1|1].sum);
}
在操作中,建樹、單點修改都是正常的,只需要設計區間查詢最大字段和。
此處我們返回一個結構體,包含查詢范圍內的狀態,每次按照分治的規則歸並即可
node query(int x,int l,int r,int ql,int qr){
if(ql<=l&&r<=qr){
return A[x];
}
int mid=(l+r)>>1;
if(qr<=mid)
return query(x<<1,l,mid,ql,qr);
if(ql>mid)
return query(x<<1|1,mid+1,r,ql,qr);
node left=query(x<<1,l,mid,ql,qr),right=query(x<<1|1,mid+1,r,ql,qr),ret;
ret.maxv=max(left.maxr+right.maxl,max(left.maxv,right.maxv));
ret.maxl=max(left.maxl,left.sum+right.maxl);
ret.maxr=max(right.maxr,left.maxr+right.sum);
return ret;
}
例題
[Luogu P4513 小白逛公園](%3Ca href="https://www.luogu.org/problemnew/show/P4513"%3Ehttps://www.luogu.org/problemnew/show/P4513%3C/a%3E)
題目描述
在小新家附近有一條“公園路”,路的一邊從南到北依次排着nn個公園,小白早就看花了眼,自己也不清楚該去哪些公園玩了。一開始,小白就根據公園的風景給每個公園打了分-.-。小新為了省事,每次遛狗的時候都會事先規定一個范圍,小白只可以選擇第aa個和第bb個公園之間(包括aa、bb兩個公園)選擇連續的一些公園玩。小白當然希望選出的公園的分數總和盡量高咯。同時,由於一些公園的景觀會有所改變,所以,小白的打分也可能會有一些變化。那么,就請你來幫小白選擇公園吧。
輸入輸出格式
輸入格式:
第一行,兩個整數NN和MM,分別表示表示公園的數量和操作(遛狗或者改變打分)總數。
接下來NN行,每行一個整數,依次給出小白 開始時對公園的打分。
接下來MM行,每行三個整數。第一個整數KK,11或22。K=1K=1表示,小新要帶小白出去玩,接下來的兩個整數aa和bb給出了選擇公園的范圍(1≤a,b≤N1≤a,b≤N)。測試數據可能會出現a>ba>b的情況,需要進行交換;K=2K=2表示,小白改變了對某個公園的打分,接下來的兩個整數pp和ss,表示小白對第pp個公園的打分變成了ss(1≤p≤N1≤p≤N)。
其中,1≤N≤500 0001≤N≤500000,1≤M≤100 0001≤M≤100000,所有打分都是絕對值不超過10001000的整數。輸出格式:
小白每出去玩一次,都對應輸出一行,只包含一個整數,表示小白可以選出的公園得分和的最大值。輸入輸出樣例輸入樣例#1:
5 3
1 2 -3 4 5
1 2 3
2 2 -1
1 2 3
輸出樣例#1:
2
-1題解
這道題是模板題,直接給出代碼
using namespace std;
typedef long long LL;
const int INF=1e9+7,MAXN=5e5+10,MAXNODE=MAXN<<2,MAXM=1e5+10;
int N,M;
LL tmp[MAXN];
struct node{
LL sum,maxl,maxr,maxv;
node(){
sum=maxl=maxr=maxv=0;
}
}A[MAXNODE];
inline void push_up(int x){
A[x].sum=A[x<<1].sum+A[x<<1|1].sum;
A[x].maxl=max(A[x<<1].maxl,A[x<<1].sum+A[x<<1|1].maxl);
A[x].maxv=max(A[x<<1].maxr+A[x<<1|1].maxl,max(A[x<<1].maxv,A[x<<1|1].maxv));
A[x].maxr=max(A[x<<1|1].maxr,A[x<<1].maxr+A[x<<1|1].sum);
}
void init(int x,int l,int r){
if(l==r){
A[x].sum=A[x].maxl=A[x].maxr=A[x].maxv=tmp[l];
return;
}
int mid=(l+r)>>1;
init(x<<1,l,mid);
init(x<<1|1,mid+1,r);
push_up(x);
}
void update(int x,int l,int r,int q,LL c){
if(l==r){
if(l==q)
A[x].sum=A[x].maxl=A[x].maxr=A[x].maxv=c;
return;
}
int mid=(l+r)>>1;
if(q<=mid)
update(x<<1,l,mid,q,c);
else
update(x<<1|1,mid+1,r,q,c);
push_up(x);
}
node query(int x,int l,int r,int ql,int qr){
if(ql<=l&&r<=qr){
return A[x];
}
int mid=(l+r)>>1;
if(qr<=mid)
return query(x<<1,l,mid,ql,qr);
if(ql>mid)
return query(x<<1|1,mid+1,r,ql,qr);
node left=query(x<<1,l,mid,ql,qr),right=query(x<<1|1,mid+1,r,ql,qr),ret;
ret.maxv=max(left.maxr+right.maxl,max(left.maxv,right.maxv));
ret.maxl=max(left.maxl,left.sum+right.maxl);
ret.maxr=max(right.maxr,left.maxr+right.sum);
return ret;
}
int main(){
scanf("%d%d",&N,&M);
for(int i=1;i<=N;i++)
scanf("%lld",tmp+i);
init(1,1,N);
int ii,jj,kk;
LL ll;
for(int i=1;i<=M;i++){
scanf("%d",&ii);
if(ii==1){
scanf("%d%d",&jj,&kk);
if(jj>kk)
swap(jj,kk);
printf("%lld\n",query(1,1,N,jj,kk).maxv);
}else{
scanf("%d%lld",&jj,&ll);
update(1,1,N,jj,ll);
}
}
return 0;
}