详解 最大子段和

题目名称：最大子段和

 

题目描述：给出一段序列，选出其中连续且非空的一段使得这段和最大。

输入格式：

第一行是一个正整数N，表示了序列的长度。

第2行包含N个绝对值不大于10000的整数A[i]，描述了这段序列。

输出格式：

仅包括1个整数，为最大的子段和是多少。子段的最小长度为1。

 

枚举

 最蠢的办法，枚举左端点和右端点，再求和，用一个max储存历史的最大值，就可以了。时间复杂度O(n³)。

#include <stdio.h>
#include <math.h>
#include <string.h>
int _Max(int x,int y){return x>y?x:y;}
int num[10001],sum=0;
int max=0;
int main(){
    int n;
    scanf("%d",&n);
    int i,j;
    for(i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d",&num[i]);
    }
    for(i=1;i<n;i++){
        for(j=i+1;j<=n;j++){
            sum=0; 
            for(int k=i;k<=j;k++)
                sum+=num[k];
            max=_Max(sum,max);
        }
    }
    printf("%d\n",max);
    return 0;
}

在枚举的基础上，我们可以发现：求一个和为最大的子序列，那么作为任意一个子序列，若它的左端点是第i个元素，右端点是第j个元素，则它其中的元素之和可以表示为第1~j个元素和第1~i个元素之差。

这就是一个预处理。可以在枚举的基础上减少一些时间，但并不是最优，也是O(n²)。

 

分治

用分治求最大子段和应首先将这整个问题划分成规模更小的子问题，可以取中点，将这一个序列划分成长度相等的两个序列。对于此时的最大子段和，会出现3种情况，即：

1.最大子段和在第一个序列中，即在我们所取的中点左边。

2.最大子段和在第二个序列中，即在我们所取的中点右边；

3.最大子段和在第一个序列与第二个序列之间，即我们取的这个点被包含在这个子段中。这时，我们就应该继续以这个子段为基础，继续划分，知道不能划分为止。　　

(其实上面两种情况也是要划分的)(滑稽)

将3种情况的最大子段和合并，取三者之中的最大值就为问题的解。时间复杂度为O(nlogn)。

#include <stdio.h>
#include <math.h>
#include <string.h>
int n,a[20001]; 
int Sum(int left, int right){
    int sum=0;
    if(left==right){ 
        if(a[left]>0)
            sum=a[left];  
        else sum=0;  
    }  
    else{  
        int mid=(left+right)/2;
        int l_sum=Sum(left,mid);
        int r_sum=Sum(mid+1,right);
        int s1=0,s2=0;
        int lefts=0,rights=0;  
        for(int i=mid;i>=left;i--){
            lefts+=a[i];  
            if(lefts>s1)s1=lefts;
        }
        for(int j=mid+1;j<=right;j++){  
            rights+=a[j];
            if(rights>s2)s2=rights;  
        }
        sum=s1+s2;
        if(sum<l_sum)sum=l_sum;
        if(sum<r_sum)sum=r_sum;
    }
    return sum;
}
int main(){
    scanf("%d",&n);
    int i,j;
    for(i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d",&a[i]);
    printf("%d",Sum(1,n));
    return 0;
}

 

贪心

和动态规划(乖乖的先看下面吧)的思路类似，博主看了很久，觉得好像没有区别，所以就不讲思路了。自己看代码思考吧。

#include <stdio.h>
#include <math.h>
#include <string.h>
int main(){
    int n,max=-2147483645,num,sum=0;
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d",&num);
        sum+=num;
        if(sum>max)max=sum;
        if(sum<0)sum=0;
    }
    printf("%d",max);
    return 0;
}

 

动态规划

枚举以从1到i为右端点的子段，用数组number[i]来保存第i个元素的值，sum[i]来保存以第i个元素结尾的最大子段和。显然，我们要求的就是sum整个数组中最大的一个数了。递归的边界条件：若i=1，则sum[i]=1。因为只有它一个元素。若i>=1，最优的整个子段只有这个元素本身。因为sum[i]是用来保存以第i个元素为右端点的最大子段和，所以这时的最大子段和就是number[i]和number[i]+sum[i-1]的比较，比较取最大即可。为什么要加上sum[i-1]呢？因为相比于以第i-2个元素结尾的子段来说，以i-1个元素结尾的子段显然要更长，结果更大的可能性也更大。状态转移方程：sum[i]=max(sum[i-1]+number[i],numberp[i]);  (i>1)

#include <stdio.h>
#include <math.h>
#include <string.h>
int _Max(int x,int y){return x>y?x:y;}
int number[200001],sum[200001];
int main(){
    int i,j;
    int n,maxx=0;
    scanf("%d",&n);
    for(i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d",&number[i]);
    sum[1]=number[1];
    maxx=sum[1];
    for(i=2;i<=n;i++){
        sum[i]=_Max(sum[i-1]+number[i],number[i]);
        maxx=_Max(sum[i],maxx);
    }
    printf("%d",maxx);
}

 

其实这个题目还有很多方法，这里就不介绍其他的了。