關於戴德金分割的幾點思考

謹以此文紀念楊振寧、李政道先生獲得諾貝爾物理學獎60周年.

由無理數引發的數學危機一直延續到19世紀，直到1872年，德國數學家戴德金從連續性的要求出發，用有理數的“分割”來定義無理數，並把實數理論建立在嚴格的科學基礎上，才結束了無理數被認為“無理”的時代，也結束了持續2000多年的數學史上的第一次大危機.

戴德金分割

已知對於戴德金分割，把實數域拆分成兩個均非空集A及A'，使能滿足：

情形1：每一實數必落在集A，A'中一個且僅一個之內

情形2：集A的每一數α小於集A'的每一數α'

戴德金定理

它是刻畫實數連續性的命題之一，也稱實數完備性定理，它斷言，若A|A'是實數系R(即有理數集的所有戴德金分割的集合，並以明顯的方式定義了大小順序及四則運算)的戴德金分割，則由它可確定惟一實數β，若β落在A內，則它為A中最大元，若β落在A'內，則它是A'中最小元，這個定理說明，R的分割與全體實數是一一對應的，反映在數軸上，它又說明R的分割不再出現空隙，因此，這個定理可用來刻畫實數的連續性.

下面我們在戴德金分割的基礎上給出戴德金(基本)定理的證明過程：

將屬於A的一切有理數集記成A，屬於A'的一切有理數集記成A'，容易證明，集A及集A'形成有理數域內的一個分划，這分划A|A'確定出某一實數β，它應該落在A組或A'組之一內，假定β落在下組A內，則這樣就實現了情形1，β就是A組的最大數，假定如果不是這樣，便可在這組內找出大於β的另一數α0，現在α0與β之間插入有理數r，使α0>r>β，r亦屬於A，故必屬於A的一部分，這樣就得出了謬論，即有理數r屬於確定β的戴德金分割的下組，卻又大於β，因此，就證明了戴德金定理的正確性，類似地，如果假定β落在上組A'內，同樣可以證明.

戴德金分割存在的幾點疑問：

1.根據戴德金分割(我們可以)證明：1=0.999......

證明：設 t=0.999......，作兩個有理數集的分割

A={x|x<t,x有理數}，B={x|x>=t,x有理數}

C={x|x<1,x有理數}，D={x|x>=1,x有理數}

分割A/B確定了實數t=0.999......(我們暫時不知道t=0.999......是有理數還是無理數)

分割C/D確定了有理數1

為證明 t=1，我們只需要證明這兩個分割是相同的，即證明 A=C

若有理數 x∈A，則顯然有 x<1，於是 x∈C

若有理數 x∈C，則 x<1，不妨設 x>0

根據有理數的定義，我們可以把x用分數的形式表示為

x=p/q，(p，q為正整數)

既然0<x<1，則必有p<q

於是由1-p/q>=1/q>0，可得存在正整數n，使得

1/q>1/10^n>0

x=p/q<=1-1/q<1-1/10^n=0.99...9(n個9)<t

既然x<t，這就說明x∈A

由上，我們就得到了A=C，從而，A/B和C/D是兩個相同的分割，因此， 0.999...=t=1

2.循環整數

因為，0.9循環-0.8循環=0.1循環，所以，等式兩邊同時去掉“0”與“.”后有：

9循環-8循環=1循環，我們把9循環，8循環，1循環稱為循環整數

我們知道在任何時候，0.9循環等於0.9循環，不可能你在做一道題時你前一分鍾使用的0.9循環比后一分鍾使用的0.9循環小，有0.9循環的小數位循環與時間沒有關系，循環小數是常數，循環整數的基礎是循環小數，決定了循環整數是常數，且循環整數不是無窮大的數，因為無窮大是變量，而常數在數軸上有對應的固定點，可得，9循環的整數位循環與時間沒有關系且9循環的整數位個數等於0.9循環的小數位個數.

設Q=9循環/0.9循環，有Q-9循環=1，得到，1-0.9循環=Q/Q-9循環/Q=1/Q

因為Q大於0，所以1/Q大於0，即1-0.9循環>0

找到了大於0.999...而小於1的常數，如0.999......<0.999......+0.01/9循環<1

以1/Q為單元可以推導出牛頓-萊布尼茨公式和弧長公式等微積分內容

綜上，循環整數的引入，導致1-0.999......>0，與戴德金分割的1=0.999......存在不同的結果

戴德金分割存在的數學問題會涉及很多的物理問題，比如真空量子漲落沒有違背能量守恆，我們知道在真空量子漲落里，產生的能量越大，則該能量存在的時間越短，漲落發生在空間中的任何地方，而且能量存在的時間非常短，時刻一到，它就要消失，時空糾纏計算也揭示出這種現象，時空糾纏能量越大的時候，能量在四維時空存在的時間就越短，時空糾纏能量越小的時候，能量在四維時空存在的時間就越長，這里跟量子糾纏和暗物質也有關聯，時空糾纏的存在，說明了不同維度時空不是獨立存在的，不同維度時空是個糾纏的整體.