最短路徑算法——弗洛伊德算法（Floyd）

算法的本質

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• 用三重循環來清算每個點 對 縮小相鄰任意“點對兒”距離的貢獻
• 即每個頂點都有可能使得另外兩個頂點之間的距離變短
• 貢獻核心在於兩邊之和大於第三邊
• 清算完成后即得任意兩點的最短路徑

算法的基本思想

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• 最開始只允許經過1號頂點進行中轉
• 接下來只允許經過1和2號頂點進行中轉
• ……
• 允許經過1~n號所有頂點進行中轉
• 求任意兩點之間的最短路程
• 用一句話概括就是：從i號頂點到j號頂點只經過前k號點的最短路程
• 其實這是一種“動態規划”的思想

C語言偽代碼表示的算法

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void ShortestPath_FLOYD(MGraph G, PathMatrix &P[], DistancMatrix &D){
    // 用Floyd算法求有向網G中各對頂點v和w之間的最短路徑P[v][w]及其
    // 帶權長度D[v][w]。若P[v][w][u]為TRUE，則u是從v到w當前求得最短路徑上的頂點
    for(v = 0; v < G.vexnum; ++ v)// 各對結點之間初始已知路徑及距離
        for(w = 0; w < G.vexnum; ++ w){
            D[v][w] = G.arcs[v][w];
            for(u = 0; u < G.vexnum; ++ u) P[v][w][u] = FALSE;
            if(D[v][w] < INFINITY){// 從v到w有直接路徑
                P[v][w][v] = TRUE; P[v][w][w] = TRUE;
            }// if
        }// for
    for(u = 0; u < G.vexnum; ++ u)
        for(v = 0; v < G.vexnum; ++ v)
            for(w = 0; w < G.vexnum; ++ w)
                if(D[v][u] + D[u][w] < D[v][w]){// 從v經u到w的一條路徑更短
                    D[v][w] = D[v][u] + D[u][w];
                    for(i = 0; i < G.vexnum; ++ i)
                        P[v][w][i] = P[v][u][i] || P[u][w][i];
                }// if
}// ShortestPath_FLOYD

核心代碼就五行

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// 核心代碼
for(u = 0; u < G.vexnum; ++ u)
    for(v = 0; v < G.vexnum; ++ v)
        for(w = 0; w < G.vexnum; ++ w)
            if(D[v][u] + D[u][w] < D[v][w])// 從v經u到w的一條路徑更短
                D[v][w] = D[v][u] + D[u][w];

C

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• 源碼

#include <stdio.h>   
int main()   
{   
    int e[10][10],k,i,j,n,m,t1,t2,t3;   
    int inf=99999999; //用inf(infinity的縮寫)存儲一個我們認為的正無窮值   
    //讀入n和m，n表示頂點個數，m表示邊的條數   
    scanf("%d %d",&n,&m);   
  
    //初始化   
    for(i=1;i<=n;i++)   
        for(j=1;j<=n;j++)   
            if(i==j) e[i][j]=0;   
            else e[i][j]=inf;   
    //讀入邊   
    for(i=1;i<=m;i++)   
    {   
        scanf("%d %d %d",&t1,&t2,&t3);   
        e[t1][t2]=t3;   
    }   
  
    //Floyd-Warshall算法核心語句   
    for(k=1;k<=n;k++)   
        for(i=1;i<=n;i++)   
            for(j=1;j<=n;j++)   
                if(e[i][j]>e[i][k]+e[k][j] )   
                    e[i][j]=e[i][k]+e[k][j];   
  
    //輸出最終的結果   
    for(i=1;i<=n;i++)   
    {   
         for(j=1;j<=n;j++)   
         {   
             printf("%10d",e[i][j]);   
         }   
     printf("\n");   
    }   
  
    return 0;   
}