最短路徑之（迪傑斯特拉）Dijkstra算法（及其改進：BF算法，SPFA算法），(弗洛伊德)Floyd算法

最短路徑

最短路徑問題是圖的一個經典問題，常用的求最短路徑的方法有

（迪傑斯特拉）Dijkstra算法，(弗洛伊德)Floyd算法。

Dijkstra算法用於求單源點最短路徑問題，復雜度為O(n2)，而Floyd算法用於求對每一對頂點之間的最短路問題（采用枚舉法，枚舉所有可能），復雜度為O(n3)。

一、Dijkstra算法：

迪傑斯特拉提出了一個按路徑長度遞增的次序產生最短路的算法，其基本思想是：設置一個集合S存放已經找到最短路徑的頂點，S的初始狀態只包含源點v，對vi屬於V-S，假設從源點v到vi的有向邊為最短路徑，以后每求得每一條最短路徑v,…vk，就將vk加入到集合S中，並將路徑v,…vk,vi與原來的假設相比較，取路徑長度較小者為當前最短路徑。
核心代碼如下：

for(int i=1; i<=n-1; i++) //更新dis數組
    {
        min1=inf;
        for(int j=1; j<=n; j++)
        {
            if(book[j]==0&&dis[j]<min1)//每次找最短的邊
            {
                min1=dis[j];
                u=j;
            }
        } 
            book[u]=1;
            for(int v=1; v<=n; v++)
            {
                if(e[u][v]<inf)
                    if(dis[v]>dis[u]+e[u][v])//如果從起始點到j的距離大於起始點到u的距離加上u到j的距離就更新，專業術語松弛操作
                        dis[v]=dis[u]+e[u][v];
            }
    }

Dijkstra算法是應用貪心的一個典例。但是也正是因為其貪心算法的思想，其不適用於帶負權邊的圖，例：

我們利用Dijkstra算法試驗一下上面的圖（從A->B）：

1.先把A點標記，不需要訪問本身
2.首先找到距A最近的且直接相連的點（也就是兩點間沒有中轉點）C，把C標記
3.找出C點的出點A,，B，A被標記了不管，此時A到B的距離為3，大於A到C的距離加上C到B的距離0，所以更新A到B的距離為0
4.更新后A到C的距離仍然為2，A到B的距離為0，A，C都被標記，只有B未被標記，進行下一步
5.找到距A最近的且未被標記的點B，標記B
6.找出B的出點A，C，然而A，C兩點都被標記，不能松弛
7.程序結束，結果為A到C的距離為2而不是1，說明普通dijkstra算法並不能處理帶負權邊的無向圖

Dijkstra算法求最短路的算法是由貪心得來的，也就是說長路徑的松弛正確的前提是用來松弛它的短路徑是最短的，也就是說在之后是不會變的，這在非負權值的情況下是對的，然而遇到負權值便錯了，因為當加入了負權值邊后便可能使之前的短邊變得更短。

對Dijkstra算法的改進：

Bellman-Ford（BF算法）（適用於帶負權值的邊）：

Bellman-Ford算法同樣是求起始點到各個頂點的最短路，但與dijkstra不同的是，dijkstra每次找到最近的點進行松弛操作，而這個bellman則是只要路程更短就松弛。也是因為這樣才能用來解決負權值問題。
核心代碼：

for(int k=1;k<=n-1;k++)//進行n-1次松弛（最糟糕的情況，因為可能不到n-1次就已經找出來了）
for(int i=1;i<=m;i++)//枚舉每一條邊
if(dis[v[i]]>dis[u[i]]+w[i])//嘗試松弛每一條邊
dis[v[i]]=dis[u[i]]+w[i];

SPFA算法（SPFA是一種用隊列優化的B-F算法）：

1.初始時，只有把起點放入隊列中。
2.遍歷與起點相連的邊，如果可以松弛就更新距離dis[],然后判斷如果這個點沒有在隊列中就入隊標記。
3.出隊隊首，取消標記，循環2-3步，直至隊為空。
4.所有能更新的點都更新完畢，dis[]數組中的距離就是，起點到其他點的最短距離。

SPFA如何判斷成環：

在儲存邊時，記錄下每個點的入度，每個點入隊的時候記錄一次，如果入隊的次數大於這個點的入度，說明從某一條路進入了兩次，即該點處成環。

二、Floyd算法：

Floyd算法用於求每一對頂點之間的最短路徑問題，給定帶權有向圖G=(V,E)，對任意頂點vi和vj(i!=j)，求頂點vi到vj之間的最短路徑。
解決這個問題的方法（借助Dijkstra算法）是：每次以一個頂點為源點，調用Dijkstra算法n次，便可得到每一對頂點之間的最短路徑，時間復雜度為O(n3)。
Floyd算法：
一般來說我們從i到j有兩種走法：
1.直接從i到j
2.通過中間點k中轉，i->k->j
所以我們就遍歷所有情況，如果通過某個中轉點距離小於直接到達的距離，就更新這兩點間的距離。（Floyd算法）
核心代碼如下：

for(int k=1; k<=n; k++)
        for(int i=1; i<=n; i++)
            for(int j=1; j<=n; j++)
            {
                if(map1[i][j]>map1[i][k]+map1[k][j])
                    map1[i][j]=map1[i][k]+map1[k][j];
            }

因此Floyd算法能解決負邊（負權）但不能解決負環。

上述幾種求最短路徑的方法僅限於求不帶環的圖中：

1.Dijkstra算法不能解決帶負權邊的圖
2.B-F算法做了優化允許圖中出現負權邊並解決該問題
3.SPFA算法利用隊列對B-F算法進一步優化，允許圖中可以出現環但是不能解決帶環的圖（僅能判別出現但是不能解決）
4.Floyd算法能解決負權邊但不能解決負環
我們可以假設某一條環上路徑長度為負（單循環時），那么我們就可以進行多循環直至無限循環無限縮短路徑長度，那么問題便無解了。因此任何算法都不能求帶環的問題。