算法設計與分析--01背包問題（動態規划法解決）

問題描述：

給定N中物品和一個背包。物品i的重量是W_i,其價值位V_i ，背包的容量為C。問應該如何選擇裝入背包的物品，使得轉入背包的物品的總價值為最大？？

在選擇物品的時候，對每種物品i只有兩種選擇，即裝入背包或不裝入背包。不能講物品i裝入多次，也不能只裝入物品的一部分。因此，該問題被稱為0-1背包問題。 

問題分析：令V(i,j)表示在前i(1<=i<=n)個物品中能夠裝入容量為就j(1<=j<=C)的背包中的物品的最大價值，則可以得到如下的動態規划函數:

(1)   V(i,0)=V(0,j)=0 

(2)   V(i,j)=V(i-1,j)  j<w_i  

       V(i,j)=max{V(i-1,j) ,V(i-1,j-w_i)+v_i) } j>w_i

(1)式表明：如果第i個物品的重量大於背包的容量，則裝人前i個物品得到的最大價值和裝入前i-1個物品得到的最大價是相同的，即物品i不能裝入背包；第(2)個式子表明:如果第i個物品的重量小於背包的容量，則會有一下兩種情況：(a)如果把第i個物品裝入背包，則背包物品的價值等於第i-1個物品裝入容量位j-w_i 的背包中的價值加上第i個物品的價值v_i; (b)如果第i個物品沒有裝入背包，則背包中物品價值就等於把前i-1個物品裝入容量為j的背包中所取得的價值。顯然，取二者中價值最大的作為把前i個物品裝入容量為j的背包中的最優解。

#include<stdio.h>
int V[200][200];//前i個物品裝入容量為j的背包中獲得的最大價值
 int max(int a,int b)
 {
    if(a>=b)
        return a;
    else return b;
 }
 
 int KnapSack(int n,int w[],int v[],int x[],int C)
 {
     int i,j;
     for(i=0;i<=n;i++)
         V[i][0]=0;
     for(j=0;j<=C;j++)
         V[0][j]=0;
     for(i=0;i<=n-1;i++)
         for(j=0;j<=C;j++)
             if(j<w[i])
                 V[i][j]=V[i-1][j];
             else
                 V[i][j]=max(V[i-1][j],V[i-1][j-w[i]]+v[i]);
             j=C;
             for(i=n-1;i>=0;i--)
             {
                 if(V[i][j]>V[i-1][j])
                 {
                 x[i]=1;
                 j=j-w[i];
                 }
             else
                 x[i]=0;
             }
             printf("選中的物品是:\n");
             for(i=0;i<n;i++)
                 printf("%d ",x[i]);
             printf("\n");
         return V[n-1][C];
         
 }
 
 void main()
 {
     int s;//獲得的最大價值
     int w[15];//物品的重量
     int v[15];//物品的價值
     int x[15];//物品的選取狀態
     int n,i;
     int C;//背包最大容量
     n=5;
     printf("請輸入背包的最大容量:\n");
     scanf("%d",&C);
     
     printf("輸入物品數:\n");
     scanf("%d",&n);
     printf("請分別輸入物品的重量:\n");
     for(i=0;i<n;i++)
         scanf("%d",&w[i]);
 
     printf("請分別輸入物品的價值:\n");
     for(i=0;i<n;i++)
         scanf("%d",&v[i]);
 
     s=KnapSack(n,w,v,x,C);
 
     printf("最大物品價值為:\n");
     printf("%d\n",s);
    
     
 }