復數矩陣分解的拆解思路（矩陣求逆/特征值分解）

作者：桂。

時間：2017-10-26  07:11:02

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前言

主要記錄特征值分解的硬件實現思路。

一、實數矩陣轉化

在FPGA運算中，對實數運算通常優於對復數運算。假設C為復數矩陣：C= A+iB;且

C = C^H

從而A = A^T;B = -B^T；若C的奇異值所對應的奇異向量為u + iv，且滿足：

對應有：

借助矩陣形式表示：

根據A、B的性質，存在：

一個NxN的Hermitian矩陣分解，轉化為2Nx2N的實對稱矩陣分解。

 

二、Jacobi算法（Givens旋轉）

 對於對稱矩陣：

其中Givens參數：

該公式可進一步轉化：$tan(2theta) = 2a_{ij}/(a_{jj}-a_{ii})$;theta可以借助cordic算法求解。

此處可以借助Cordic求解角度，也可以利用CORDIC求根號的思路進行sin、cos的計算：

aii= 1;
ajj = 3;
aij = 1.2;
tan_2 = (2*aij/(ajj-aii));
theta = 1/2*atan(tan_2);
tao = 1/tan_2;
t = sign(tao)/(abs(tao)+sqrt(1+tao.^2));
cos_1 = 1/sqrt(1+t^2)
cos_1_new = cos(theta)
sin_1 = t/sqrt(1+t^2)
sin_1_new = sin(theta)

使用Givens旋轉左乘A，可以得到對角陣，右乘同樣可以得出。只使用左乘\右乘的Givens旋轉稱為單邊Givens旋轉。與之不同，對nxn對稱矩陣A同時采用左乘、右乘的方法，稱為雙邊Givens旋轉。

具體代碼實現，參見：印象筆記-005常用算法-0020Jacobi算法。

借助之前SVD實現矩陣求逆的思路，矩陣求逆的硬件實現，也可以在此基礎上直接實現。(此處實對稱矩陣，利用：特征向量x特征值取反x特征向量轉置，即完成矩陣求逆)

clc;clear all;
x = rand(4,100)*20+1i*rand(4,100)*20;
R =  x*x'/100;
A = real(R);
B = imag(R);
R_cat = [A  -B;B  A];
[D,V]=Jacobi(R_cat);
% V = V';
U_est = V(1:4,1:2:end)+1i*V(5:end,1:2:end);
D0 = diag(D);
D0 = 1./D0(1:2:end);
R_inv = U_est*diag(D0)*U_est'

 三、並行拆解思路

對於nxn的矩陣分解，一種思路是尋找矩陣所有非對角元素中絕對值較大者進行雙邊Jacobi變換，使得該非對角線元素變為0.接着進行第二次變換，直到收斂至精度要求，O（n2）復雜度。

另一種是固定計算順序的方法（術語：循環Jacobi，cycle Jacobi），簡單粗暴且便於在硬件上實現(行/列):

假設矩陣維度為8，經過一次迭代的計算順序可表示為：

仿真驗證參考：Jacobi並行拆解

對於維度為N的矩陣，每一行的N/2個都可以並行，遍歷一次（專業術語：Sweep）需要N-1個周期。對於N維度的矩陣，排序的順序為：

如N = 10，除去1，2追溯到4，3追溯到2，5追溯到3.......依次類推。

S_0：(1,2)-(3,4)-(5,6)-(7,8)-(9,10)

S_1：(1,4)-(2,6)-(3,8)-(5,10)-(7,9)

......

BLV Array for N=8. Data transmission is represented as solid arrows and rotation parameters transmission with unfilled arrows.