對利率和貼現的理解

Written with StackEdit by xhey.

考慮利率相關問題時首先應明確三點。第一是時間單位，一期是指一個月，一個季度，半年還是一年。通常以實際利率（effective interest rate）所對應的時間長度為一期；第二是觀察點的選擇，同樣的現金流因為觀察點的不同可能對其積累也可能對其折現，一般來說觀察點不同得到的現值也不同；第三是收支平衡原則，在既定利率和時間段的情況下，在同一時點的支出和收入的價值應該相等。

其次要熟練運用等價轉換思想。\(1\) 次的實際支付可以轉化為 \(n\) 次的虛擬支付，\(n\) 次的實際支付可以轉化為 \(1\) 次的虛擬支付。

最后一般需要用線段圖來表示現金流，以便理解。

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目錄

• 一、終（積累）值函數和現值函數
• 二、利息率
• 三、名義利率和實際利率
• 四、貼現率
• 五、名義貼現率和實際貼現率
• 六、利息力
• 七、小結

一、終（積累）值函數和現值函數

1. 終值函數（積累因子）：單位本金在第\(t\)期的積累值為\(a(t)\)

   • \(a(0) = 1\)
   • \(a(t)\)一般不減
   • \(a(t)\)一般連續

2. 現值函數（折現因子）：\(t\)期后的單位積累值在目前的現值\(v(t) = a^{-1}(t) = \frac {1}{a(t)}\)

   • \(v(0) = 1\)
   • \(v(t)\)一般不增
   • \(v(t)\)一般連續

3. 總量函數：\(A(0) = k，A(t) = A(0)a(t)，A(t) = ka(t)\)

二、利息率

利息率就是單位本金每期產生的利息。

1. 第\(t\)期的實際利率\(i_t = \frac {A(t) - A(t-1)}{A(t-1)} = \frac {a(t) - a(t-1)}{a(t-1)}\)

2. \(A(t) = A(0)(1+i_1)(1+i_2) \ldots (1+i_t)\)

3. 單利：\(a(t) = 1 + it\)

\[i_t = \frac {a(t) - a( t - 1 )}{a(t - 1)} = \frac {i}{1 + i(t - 1)} \]

4. 復利：\(a(t) = ( 1 + i )^t\)

\[i_t = \frac {a(t) - a( t - 1 )}{a(t - 1)} = i \]

5. 單利不會影響本金，而復利會使本金增加；單利在超過一期之后實際利率遞減，而復利的實際利率是常數，因此在使用復利計算時結果與觀察點的選擇無關。

在相同情況下復利的終值一定大於單利的終值嗎?

\[\begin{array}{ll} (1 + i)^t \gt 1 +it & \qquad ( -1 \lt i \neq 0 , \, t \gt 1 )\\ (1 + i)^t \lt 1 +it & \qquad ( -1 \lt i \neq 0 , \, 0 \lt t \lt 1 ) \end{array} \]

三、名義利率和實際利率

1. 一般情況下，若每期計息1次是為實際利率，每期計息2次及以上是為名義利率。
2. \(\frac 1m\)期實際利率的\(m\)倍稱為每期計息\(m\)次的名義利率，記為\(i^{(m)}\)，因此\(\frac 1m\)期的實際利率為\(\frac{i^{(m)}}{m}\)，則

\[\bbox [5px, border:1px solid black] { 1+i = \left(1 + \frac{i^{(m)}}{m} \right)^m } \]

3. 當\(m \to \infty\)時有，\(\lim \limits_{m \to \infty} \left(1 + \frac{i^{(m)}}{m} \right)^m = e^{i^{(m)}} = 1+i \Rightarrow i^{(m)} = \log(1+i)\)

四、貼現率

貼現是持票人以未到期票據向銀行貼付一定利息兌取資金的行為。單位本金因這種提前兌取行為損失的利息就叫做貼現率。

小明有一張到期后可以收回10000塊的票據。距到期日還有1年時，小明想將這張票據抵押給銀行以換取現金，此時的貼現率為2.5%。對小明來說，他需要支付10000*2.5% = 250塊的貼息，從銀行拿到10000-250 = 9750塊的現金。對銀行來說，他現在需要支付給小明9750塊，一年后收回10000塊，這250塊是利息，利息率為（10000-9750）/ 9750 = 2.56%.

1. 第\(t\)期的實際貼現率\(d_t = \frac{A(t) - A(t-1)}{A(t)} = \frac{a(t) - a(t-1)}{a(t)}\)

2. \(A(0) =A(t)(1-d_1)(1-d_2) \ldots (1-d_t)\)

3. 單貼現：\(a(t) = (1-dt)^{-1}\)

\[d_t = \frac{a(t) - a(t-1)}{a(t)} = \frac{d}{1-d(t-1)} \]

4. 復貼現：\(a(t) = (1-d)^{-t}\)

\[d_t = \frac{a(t) - a(t-1)}{a(t)} = d \]

5. 與利息率相似的，單貼現不會影響終值，而復貼現會使終值減少；單貼現在超過一期之后實際貼現率遞增，而復貼現的實際貼現率是常數，在使用復貼現率計算時結果也與觀察點的選擇無關。

單貼現的現值一定比復貼現的現值高嗎？

\[\begin{array}{ll} (1-d)^t \gt 1-dt & \qquad (0 \lt d \lt 1，t \gt 1)\\ (1-d)^t \lt 1-dt & \qquad (0 \lt d \lt 1，0 \lt t \lt 1) \end{array} \]

五、名義貼現率和實際貼現率

1. 一般情況下，若每期貼息1次是為實際貼現率，每期貼息2次及以上是為名義貼現率。

2. \(\frac 1n\)期實際貼現率的\(n\)倍稱為每期貼息\(n\)次的名義貼現率，記為\(d^{(n)}\)，因此\(\frac 1n\)期的實際貼現率為\(\frac{d^{(n)}}{n}\)，則

\[\bbox [5px, border:1px solid black] { 1 - d = \left(1 - \frac{d^{(n)}}{n} \right)^n } \]

3. 當\(n \to \infty\)時有，\(\lim \limits_{n \to \infty} \left(1 - \frac{d^{(n)}}{n} \right)^n = e^{-d^{(n)}} = 1-d \Rightarrow d^{(n)} = \log(1-d)\)

六、利息力

利息力\(\delta _t = \frac{A'(t)}{A(t)} = \frac{a'(t)}{a(t)} = \left( \lim \limits_{\Delta t \to 0} \frac{A(t + \Delta t) - A(t)}{\Delta t} \right) / A(t) = \left( \lim \limits_{\Delta t \to 0} \frac{a(t + \Delta t) - a(t)}{\Delta t} \right) / a(t)\)

\(\delta_t\)反映了在時刻\(\mathbf t\)單位本金產生的利息，可以表示產生利息的強度。利息的產生受到了三個因素的影響——初值、時間長度、利息率。如果想要比較產生利息的強度，應該消除初值和時間的影響。在上式中導數消除了時間的影響，再除以\(A(t)\)就消除了初值的影響，因此利息力可以作為衡量利息產生強度的標准。

通過利息力我們可以估算終值：\(A(t_2) = A(t_1) \delta_{t_1} (t_2 - t_1)\)，其中\(\Delta t = t_2 - t_1\)越小越好。也可以計算終值：

\[\begin{array}{rcl} \delta_t & = & \frac{A'(t)}{A(t)} \\[2ex] \delta_t & = & \frac{d}{dt} \log A(t)\\[2ex] \delta_t dt & = & d \log A(t)\\[2ex] \int_0^t \delta_s ds & = & \int_0^td \log A(s)\\[2ex] \log A(t)|_0^t & = & \int_0^t \delta_s ds\\[2ex] A(t) & = & A(0)e^{\int_0^t \delta_s ds}\\[2ex] a(t) & = & e^{\int_0^t \delta_s ds}\\[2ex] \end{array} \]

將\(0，t\)分別替換為\(t_1，t_2\)可以得到下面這個推廣的式子：

\[A(t_2) = A(t_1)e^{\int_{t_1}^{t_2} \delta(s) ds} \]

如果把\(t_1，t_2\)看作沒有大小關系，那么上面的這些公式同樣可以用來求現值。

當\(\delta\)不隨時間變化時，我們有

\[\bbox [5px, border:1px solid black] { a(t) = (1+i)^t = e^{\delta t} = (1-d)^{-t} } \]

七、小結

1. 利息率、貼現率和利息力之間的關系

\[d \lt d^{(2)} \lt d^{(3)} \lt \cdots \lt \delta \lt \cdots \lt i^{(3)} \lt i^{(2)} \lt i \]

用圖像表示就是這個樣子滴（\(i = 5\%\))

2. 把以上帶框的公式連結起來有

• 計算終值時：

\[(1+ \frac{i^(m)}{m})^m = 1+i = e^ \delta = (1-d)^{-1} = (1-\frac{d^(n)}{n})^{-n} \]

• 計算現值時：

\[(1+ \frac{i^(m)}{m})^{-m} = (1+i)^{-1}= e^{-\delta} = 1-d = (1-\frac{d^(n)}{n})^n \]