对利率和贴现的理解

Written with StackEdit by xhey.

考虑利率相关问题时首先应明确三点。第一是时间单位，一期是指一个月，一个季度，半年还是一年。通常以实际利率（effective interest rate）所对应的时间长度为一期；第二是观察点的选择，同样的现金流因为观察点的不同可能对其积累也可能对其折现，一般来说观察点不同得到的现值也不同；第三是收支平衡原则，在既定利率和时间段的情况下，在同一时点的支出和收入的价值应该相等。

其次要熟练运用等价转换思想。\(1\) 次的实际支付可以转化为 \(n\) 次的虚拟支付，\(n\) 次的实际支付可以转化为 \(1\) 次的虚拟支付。

最后一般需要用线段图来表示现金流，以便理解。

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目录

• 一、终（积累）值函数和现值函数
• 二、利息率
• 三、名义利率和实际利率
• 四、贴现率
• 五、名义贴现率和实际贴现率
• 六、利息力
• 七、小结

一、终（积累）值函数和现值函数

1. 终值函数（积累因子）：单位本金在第\(t\)期的积累值为\(a(t)\)

   • \(a(0) = 1\)
   • \(a(t)\)一般不减
   • \(a(t)\)一般连续

2. 现值函数（折现因子）：\(t\)期后的单位积累值在目前的现值\(v(t) = a^{-1}(t) = \frac {1}{a(t)}\)

   • \(v(0) = 1\)
   • \(v(t)\)一般不增
   • \(v(t)\)一般连续

3. 总量函数：\(A(0) = k，A(t) = A(0)a(t)，A(t) = ka(t)\)

二、利息率

利息率就是单位本金每期产生的利息。

1. 第\(t\)期的实际利率\(i_t = \frac {A(t) - A(t-1)}{A(t-1)} = \frac {a(t) - a(t-1)}{a(t-1)}\)

2. \(A(t) = A(0)(1+i_1)(1+i_2) \ldots (1+i_t)\)

3. 单利：\(a(t) = 1 + it\)

\[i_t = \frac {a(t) - a( t - 1 )}{a(t - 1)} = \frac {i}{1 + i(t - 1)} \]

4. 复利：\(a(t) = ( 1 + i )^t\)

\[i_t = \frac {a(t) - a( t - 1 )}{a(t - 1)} = i \]

5. 单利不会影响本金，而复利会使本金增加；单利在超过一期之后实际利率递减，而复利的实际利率是常数，因此在使用复利计算时结果与观察点的选择无关。

在相同情况下复利的终值一定大于单利的终值吗?

\[\begin{array}{ll} (1 + i)^t \gt 1 +it & \qquad ( -1 \lt i \neq 0 , \, t \gt 1 )\\ (1 + i)^t \lt 1 +it & \qquad ( -1 \lt i \neq 0 , \, 0 \lt t \lt 1 ) \end{array} \]

三、名义利率和实际利率

1. 一般情况下，若每期计息1次是为实际利率，每期计息2次及以上是为名义利率。
2. \(\frac 1m\)期实际利率的\(m\)倍称为每期计息\(m\)次的名义利率，记为\(i^{(m)}\)，因此\(\frac 1m\)期的实际利率为\(\frac{i^{(m)}}{m}\)，则

\[\bbox [5px, border:1px solid black] { 1+i = \left(1 + \frac{i^{(m)}}{m} \right)^m } \]

3. 当\(m \to \infty\)时有，\(\lim \limits_{m \to \infty} \left(1 + \frac{i^{(m)}}{m} \right)^m = e^{i^{(m)}} = 1+i \Rightarrow i^{(m)} = \log(1+i)\)

四、贴现率

贴现是持票人以未到期票据向银行贴付一定利息兑取资金的行为。单位本金因这种提前兑取行为损失的利息就叫做贴现率。

小明有一张到期后可以收回10000块的票据。距到期日还有1年时，小明想将这张票据抵押给银行以换取现金，此时的贴现率为2.5%。对小明来说，他需要支付10000*2.5% = 250块的贴息，从银行拿到10000-250 = 9750块的现金。对银行来说，他现在需要支付给小明9750块，一年后收回10000块，这250块是利息，利息率为（10000-9750）/ 9750 = 2.56%.

1. 第\(t\)期的实际贴现率\(d_t = \frac{A(t) - A(t-1)}{A(t)} = \frac{a(t) - a(t-1)}{a(t)}\)

2. \(A(0) =A(t)(1-d_1)(1-d_2) \ldots (1-d_t)\)

3. 单贴现：\(a(t) = (1-dt)^{-1}\)

\[d_t = \frac{a(t) - a(t-1)}{a(t)} = \frac{d}{1-d(t-1)} \]

4. 复贴现：\(a(t) = (1-d)^{-t}\)

\[d_t = \frac{a(t) - a(t-1)}{a(t)} = d \]

5. 与利息率相似的，单贴现不会影响终值，而复贴现会使终值减少；单贴现在超过一期之后实际贴现率递增，而复贴现的实际贴现率是常数，在使用复贴现率计算时结果也与观察点的选择无关。

单贴现的现值一定比复贴现的现值高吗？

\[\begin{array}{ll} (1-d)^t \gt 1-dt & \qquad (0 \lt d \lt 1，t \gt 1)\\ (1-d)^t \lt 1-dt & \qquad (0 \lt d \lt 1，0 \lt t \lt 1) \end{array} \]

五、名义贴现率和实际贴现率

1. 一般情况下，若每期贴息1次是为实际贴现率，每期贴息2次及以上是为名义贴现率。

2. \(\frac 1n\)期实际贴现率的\(n\)倍称为每期贴息\(n\)次的名义贴现率，记为\(d^{(n)}\)，因此\(\frac 1n\)期的实际贴现率为\(\frac{d^{(n)}}{n}\)，则

\[\bbox [5px, border:1px solid black] { 1 - d = \left(1 - \frac{d^{(n)}}{n} \right)^n } \]

3. 当\(n \to \infty\)时有，\(\lim \limits_{n \to \infty} \left(1 - \frac{d^{(n)}}{n} \right)^n = e^{-d^{(n)}} = 1-d \Rightarrow d^{(n)} = \log(1-d)\)

六、利息力

利息力\(\delta _t = \frac{A'(t)}{A(t)} = \frac{a'(t)}{a(t)} = \left( \lim \limits_{\Delta t \to 0} \frac{A(t + \Delta t) - A(t)}{\Delta t} \right) / A(t) = \left( \lim \limits_{\Delta t \to 0} \frac{a(t + \Delta t) - a(t)}{\Delta t} \right) / a(t)\)

\(\delta_t\)反映了在时刻\(\mathbf t\)单位本金产生的利息，可以表示产生利息的强度。利息的产生受到了三个因素的影响——初值、时间长度、利息率。如果想要比较产生利息的强度，应该消除初值和时间的影响。在上式中导数消除了时间的影响，再除以\(A(t)\)就消除了初值的影响，因此利息力可以作为衡量利息产生强度的标准。

通过利息力我们可以估算终值：\(A(t_2) = A(t_1) \delta_{t_1} (t_2 - t_1)\)，其中\(\Delta t = t_2 - t_1\)越小越好。也可以计算终值：

\[\begin{array}{rcl} \delta_t & = & \frac{A'(t)}{A(t)} \\[2ex] \delta_t & = & \frac{d}{dt} \log A(t)\\[2ex] \delta_t dt & = & d \log A(t)\\[2ex] \int_0^t \delta_s ds & = & \int_0^td \log A(s)\\[2ex] \log A(t)|_0^t & = & \int_0^t \delta_s ds\\[2ex] A(t) & = & A(0)e^{\int_0^t \delta_s ds}\\[2ex] a(t) & = & e^{\int_0^t \delta_s ds}\\[2ex] \end{array} \]

将\(0，t\)分别替换为\(t_1，t_2\)可以得到下面这个推广的式子：

\[A(t_2) = A(t_1)e^{\int_{t_1}^{t_2} \delta(s) ds} \]

如果把\(t_1，t_2\)看作没有大小关系，那么上面的这些公式同样可以用来求现值。

当\(\delta\)不随时间变化时，我们有

\[\bbox [5px, border:1px solid black] { a(t) = (1+i)^t = e^{\delta t} = (1-d)^{-t} } \]

七、小结

1. 利息率、贴现率和利息力之间的关系

\[d \lt d^{(2)} \lt d^{(3)} \lt \cdots \lt \delta \lt \cdots \lt i^{(3)} \lt i^{(2)} \lt i \]

用图像表示就是这个样子滴（\(i = 5\%\))

2. 把以上带框的公式连结起来有

• 计算终值时：

\[(1+ \frac{i^(m)}{m})^m = 1+i = e^ \delta = (1-d)^{-1} = (1-\frac{d^(n)}{n})^{-n} \]

• 计算现值时：

\[(1+ \frac{i^(m)}{m})^{-m} = (1+i)^{-1}= e^{-\delta} = 1-d = (1-\frac{d^(n)}{n})^n \]