切比雪夫多項式
概述：
切比雪夫多項式是與棣美弗定理有關，以遞歸方式定義的一系列正交多項式序列。 通常，第一類切比雪夫多項式以符號Tn表示， 第二類切比雪夫多項式用Un表示。切比雪夫多項式 Tn 或 Un 代表 n 階多項式。
切比雪夫多項式在逼近理論中有重要的應用。這是因為第一類切比雪夫多項式的根（被稱為切比雪夫節點）可以用於多項式插值。相應的插值多項式能最大限度地降低龍格現象，並且提供多項式在連續函數的最佳一致逼近。
基本性質：
對每個非負整數n， Tn(x) 和 Un(x) 都為 n次多項式。 並且當n為偶（奇）數時，它們是關於x 的偶（奇）函數， 在寫成關於x的多項式時只有偶（奇）次項。
按切比雪夫多項式的展開式：
一個N 次多項式按切比雪夫多項式的展開式為如下，多項式按切比雪夫多項式的展開可以用 Clenshaw 遞推公式計算。第一類切比雪夫多項式由以下遞推關系確定。
也可以用母函數表示。
第二類切比雪夫多項式 由以下遞推關系給出。
此時母函數為
Clenshaw遞推公式
在數值分析中，Clenshaw遞推公式 (由Charles William Clenshaw發現)是一個求切比雪夫多項式的值的遞歸方法。
切比雪夫多項式
N次切比雪夫多項式，是下面形式的多項式p(x)
其中Tn是n階切比雪夫多項式
Clenshaw遞推公式
Clenshaw遞推公式可以用來計算切比雪夫多項式的值。給定
我們定義
於是
(注)上面的公式在 N=0,1的情況下無意義。此時我們可以用下面的公式：
(downward, omit if N=0)
這里
或者
其中
是第二類切比雪夫多項式
棣莫弗（de Moivre）原理
設兩個復數（用三角形式表示）Z1=r1(cosθ1+isinθ1），Z2=r2(cosθ2+isinθ2），則:
Z1Z2=r1r2[cos（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）].
解析
證：先講一下復數的三角形式的概念。在復平面C上，用向量Z(a,b）來表示Z=a+bi.於是，該向量可以分成兩個在實軸，虛軸上的分向量.如果向量Z與實軸的夾角為θ，這兩個分向量的模分別等於rcosθ,risinθ（r=√a^2+b^2）.所以，復數Z可以表示為Z=r(cosθ+isinθ）.這里θ稱為復數Z的輻角.
因為Z1=r1(cosθ1+isinθ1），Z2=r2(cosθ2+isinθ2），所以
Z1Z2=r1r2(cosθ1+isinθ1）（cosθ2+isinθ2）
=r1r2(cosθ1cosθ2+icosθ1sinθ2+isinθ1cosθ2-sinθ1sinθ2）
=r1r2[(cosθ1cosθ2-sinθ1sinθ2）+i(cosθ1sinθ2+sinθ1cosθ2）]
=r1r2[cos（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）].
其實該定理可以推廣為一般形式：
推廣
設n個復數Z1=r1(cosθ1+isinθ1），Z2=r2(cosθ2+isinθ2），……，Zn=rn(cosθn+isinθn），則：
Z1Z2……Zn=r1r2……rn[cos（θ1+θ2+……+θn)+isin（θ1+θ2+……+θn)].
解析
證：用數學歸納法即可，歸納基礎就是兩個復數相乘的棣莫弗定理。
如果把棣莫弗定理和歐拉（Euler）公式“e^iθ=cosθ+isinθ”（參見《泰勒公式》，嚴格的證明需要復分析）放在一起看，則可以用來理解歐拉公式的意義。
利用棣莫弗定理有：
Z1Z2……Zn=r1r2……rn [cos（θ1+θ2+……+θn)+isin（θ1+θ2+……+θn)]
如果可以把所有的復數改寫成指數的形式，即：Z1=r1e^iθ1,Z2=r2e^iθ2，……，Zn=rne^iθn,
Z1Z2……Zn=r1r2……rn e^i（θ1+θ2+……+θn)
這和指數的可加性一致.
在一般形式中如果令Z1=Z2=……=Zn=Z，則能導出復數開方的公式.有興趣可自己推推看.
下面這題可作為切比雪夫多項式的模版：
Trig Function
TimeLimit: 2000/1000 MS (Java/Others) Memory Limit:32768/32768 K (Java/Others)
Total Submission(s): 714 Accepted Submission(s): 206
Problem Description
f(cos(x))=cos(n∗x) holds for all x.
Given two integersn and m , you need to calculate the coefficient of x^m in f(x), modulo 998244353
Input
Multiple testcases (no more than 100).
Each test casecontains one line consisting of two integers n and m.
1≤n≤109,0≤m≤104
Output
Output the answerin a single line for each test case.
Sample Input
2 0
2 1
2 2
Sample Output
998244352
0
2
【題意】
給出一個函數，代入n,m后求出xm的系數，並取模輸出。
【思路】
我們先嘗試把cos(nx)化為cos(x)的形式，然后把cos(x)用x代換，就可以得到f(x)=...的形式，然后就能得到所求的系數了。
那么我們如何把cos(nx)化為cos(x)的形式呢。
其實可以嘗試着暴力寫出前幾項的形式。如下圖：
由寫出的式子，我們可以發現以下幾點：
- 當m大於n時，答案顯然為0。
- 當n為奇數且m為偶數或n為偶數且m為奇數時答案顯然為0。
- 當n為奇數，且m為1時，答案的絕對值為n。
- 當n為偶數，且m為0時，答案的絕對值為1。
- 其余情況答案的絕對值均為【 n * (n-m+2) * (n-m+4) * ... * (n+m-4) * (n+m-2) 】/(m!)。(注意逆元的運用)
- 上面出現絕對值的情況，3和4 當(n/2)%2 == 0 時符號為正，否則為負；5 當((n-m)/2)%2 == 0時，符號為正，否則符號為負。
依照這個規律分類討論一下即可。
於是我們可以得到以下一般解析式
注意"!!"不是階乘的階乘，而是不超過n且與n具有相同奇偶性的所有正整數連乘積。
n分類討論下,當n為偶數時m=2*k, n為奇數時m=2*k-1
還有注意下"!!"的約分,可能下面的比上面的大
於是我們就得到了以下代碼：
1 #include<bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 typedef long long ll; 4 const int maxn=1e5+5; 5 const int mod=998244353; 6 ll fac[maxn]={1}; 7 ll n,m; 8 void init() 9 { 10 for(int i=1;i<maxn;i++) 11 fac[i]=fac[i-1]*i%mod; 12 } 13 ll qmod(ll x,int q) 14 { 15 ll res=1; 16 while(q) 17 { 18 if(q%2) 19 res=res*x%mod; 20 x=x*x%mod; 21 q/=2; 22 } 23 return res; 24 } 25 int main(void) 26 { 27 init(); 28 while(~scanf("%lld%lld",&n,&m)) 29 { 30 if(m>n) 31 puts("0"); 32 else if(n%2&&m%2==0) 33 puts("0"); 34 else if(n%2==0&&m%2) 35 puts("0"); 36 else 37 { 38 ll fz=n%mod; 39 if(m>=1) 40 { 41 for(int i=n-m+1;i<=n+m-1;i++) 42 { 43 if(i%2==(n+m-2)%2) 44 { 45 fz=fz*i%mod; 46 } 47 } 48 ll tmp=fz*qmod(fac[m],mod-2)%mod; 49 if((n-m)/2%2) 50 tmp=-tmp; 51 printf("%lld\n",(tmp+mod)%mod); 52 } 53 else 54 { 55 ll t=1; 56 for(int i=n+m-1;i<=n-m;i++) 57 { 58 if(i%2==(n+m-2)%2) 59 t=t*i%mod; 60 } 61 ll tmp=fz*qmod(fac[m],mod-2)%mod*qmod(t, mod-2)%mod; 62 if((n-m)/2%2) 63 tmp=-tmp; 64 printf("%lld\n",(tmp+mod)%mod); 65 } 66 } 67 } 68 }