深度解讀最流行的優化算法：梯度下降（精簡版）

本文轉載自查看原文 2017-09-16 20:44 3285 深度學習

前言

本文僅對一些常見的優化方法進行直觀介紹和簡單的比較，各種優化方法的詳細內容及公式只好去認真啃論文了，在此不贅述。

SGD

此處的SGD指mini-batch gradient descent，關於batch gradient descent, stochastic gradient descent, 以及 mini-batch gradient descent的具體區別就不細說了。現在的SGD一般都指mini-batch gradient descent。

SGD就是每一次迭代計算mini-batch的梯度，然后對參數進行更新，是最常見的優化方法了。即：

$g_t=\nabla_{\theta_{t-1}}{f(\theta_{t-1})}$

$\Delta{\theta_t}=-\eta*g_t$

其中， $\eta$ 是學習率， g_t 是梯度 SGD完全依賴於當前batch的梯度，所以 $\eta$ 可理解為允許當前batch的梯度多大程度影響參數更新

缺點：（正因為有這些缺點才讓這么多大神發展出了后續的各種算法）

選擇合適的learning rate比較困難 - 對所有的參數更新使用同樣的learning rate。對於稀疏數據或者特征，有時我們可能想更新快一些對於不經常出現的特征，對於常出現的特征更新慢一些，這時候SGD就不太能滿足要求了

SGD容易收斂到局部最優，並且在某些情況下可能被困在鞍點【原來寫的是“容易困於鞍點”，經查閱論文發現，其實在合適的初始化和step size的情況下，鞍點的影響並沒這么大。感謝@冰橙的指正】

Momentum

momentum是模擬物理里動量的概念，積累之前的動量來替代真正的梯度。公式如下：

$m_t=\mu*m_{t-1}+g_t$

$\Delta{\theta_t}=-\eta*m_t$

其中， $\mu$ 是動量因子

特點：

下降初期時，使用上一次參數更新，下降方向一致，乘上較大的 $\mu$ 能夠進行很好的加速
下降中后期時，在局部最小值來回震盪的時候， $gradient\to0$ ， $\mu$ 使得更新幅度增大，跳出陷阱
在梯度改變方向的時候， $\mu$ 能夠減少更新總而言之，momentum項能夠在相關方向加速SGD，抑制振盪，從而加快收斂

Nesterov

nesterov項在梯度更新時做一個校正，避免前進太快，同時提高靈敏度。將上一節中的公式展開可得：

$\Delta{\theta_t}=-\eta*\mu*m_{t-1}-\eta*g_t$

可以看出， $m_{t-1}$ 並沒有直接改變當前梯度 g_t ，所以Nesterov的改進就是讓之前的動量直接影響當前的動量。即：

$g_t=\nabla_{\theta_{t-1}}{f(\theta_{t-1}-\eta*\mu*m_{t-1})}$

$m_t=\mu*m_{t-1}+g_t$

$\Delta{\theta_t}=-\eta*m_t$

所以，加上nesterov項后，梯度在大的跳躍后，進行計算對當前梯度進行校正。如下圖：

momentum首先計算一個梯度(短的藍色向量)，然后在加速更新梯度的方向進行一個大的跳躍(長的藍色向量)，nesterov項首先在之前加速的梯度方向進行一個大的跳躍(棕色向量)，計算梯度然后進行校正(綠色梯向量)

其實，momentum項和nesterov項都是為了使梯度更新更加靈活，對不同情況有針對性。但是，人工設置一些學習率總還是有些生硬，接下來介紹幾種自適應學習率的方法

Adagrad

Adagrad其實是對學習率進行了一個約束。即：

$n_t=n_{t-1}+g_t^2$

$\Delta{\theta_t}=-\frac{\eta}{\sqrt{n_t+\epsilon}}*g_t$

此處，對 g_t 從1到進行一個遞推形成一個約束項regularizer， $-\frac{1}{\sqrt{\sum_{r=1}^t(g_r)^2+\epsilon}}$ ， $\epsilon$ 用來保證分母非0

特點：

前期較小的時候， regularizer較大，能夠放大梯度
后期較大的時候，regularizer較小，能夠約束梯度
適合處理稀疏梯度

缺點：

由公式可以看出，仍依賴於人工設置一個全局學習率
$\eta$ 設置過大的話，會使regularizer過於敏感，對梯度的調節太大
中后期，分母上梯度平方的累加將會越來越大，使 $gradient\to0$ ，使得訓練提前結束

Adadelta

Adadelta是對Adagrad的擴展，最初方案依然是對學習率進行自適應約束，但是進行了計算上的簡化。 Adagrad會累加之前所有的梯度平方，而Adadelta只累加固定大小的項，並且也不直接存儲這些項，僅僅是近似計算對應的平均值。即：

$n_t=\nu*n_{t-1}+(1-\nu)*g_t^2$

$\Delta{\theta_t} = -\frac{\eta}{\sqrt{n_t+\epsilon}}*g_t$

在此處Adadelta其實還是依賴於全局學習率的，但是作者做了一定處理，經過近似牛頓迭代法之后：

$E|g^2|_t=\rho*E|g^2|_{t-1}+(1-\rho)*g_t^2$

$\Delta{x_t}=-\frac{\sqrt{\sum_{r=1}^{t-1}\Delta{x_r}}}{\sqrt{E|g^2|_t+\epsilon}}$

其中，代表求期望。

此時，可以看出Adadelta已經不用依賴於全局學習率了。

特點：

訓練初中期，加速效果不錯，很快
訓練后期，反復在局部最小值附近抖動

RMSprop

RMSprop可以算作Adadelta的一個特例：

當 $\rho=0.5$ 時， $E|g^2|_t=\rho*E|g^2|_{t-1}+(1-\rho)*g_t^2$ 就變為了求梯度平方和的平均數。

如果再求根的話，就變成了RMS(均方根)：

$RMS|g|_t=\sqrt{E|g^2|_t+\epsilon}$

此時，這個RMS就可以作為學習率 $\eta$ 的一個約束：

$\Delta{x_t}=-\frac{\eta}{RMS|g|_t}*g_t$

特點：

其實RMSprop依然依賴於全局學習率
RMSprop算是Adagrad的一種發展，和Adadelta的變體，效果趨於二者之間
適合處理非平穩目標 - 對於RNN效果很好

Adam

Adam(Adaptive Moment Estimation)本質上是帶有動量項的RMSprop，它利用梯度的一階矩估計和二階矩估計動態調整每個參數的學習率。Adam的優點主要在於經過偏置校正后，每一次迭代學習率都有個確定范圍，使得參數比較平穩。公式如下：

$m_t=\mu*m_{t-1}+(1-\mu)*g_t$

$n_t=\nu*n_{t-1}+(1-\nu)*g_t^2$

$\hat{m_t}=\frac{m_t}{1-\mu^t}$

$\hat{n_t}=\frac{n_t}{1-\nu^t}$

$\Delta{\theta_t}=-\frac{\hat{m_t}}{\sqrt{\hat{n_t}}+\epsilon}*\eta$

其中， m_t ， n_t 分別是對梯度的一階矩估計和二階矩估計，可以看作對期望 E|g_t| ， E|g_t^2| 的估計； $\hat{m_t}$ ， $\hat{n_t}$ 是對 m_t ， n_t 的校正，這樣可以近似為對期望的無偏估計。可以看出，直接對梯度的矩估計對內存沒有額外的要求，而且可以根據梯度進行動態調整，而 $-\frac{\hat{m_t}}{\sqrt{\hat{n_t}}+\epsilon}$ 對學習率形成一個動態約束，而且有明確的范圍。

特點：

結合了Adagrad善於處理稀疏梯度和RMSprop善於處理非平穩目標的優點
對內存需求較小
為不同的參數計算不同的自適應學習率
也適用於大多非凸優化 - 適用於大數據集和高維空間

Adamax

Adamax是Adam的一種變體，此方法對學習率的上限提供了一個更簡單的范圍。公式上的變化如下：

$n_t=max(\nu*n_{t-1},|g_t|)$

$\Delta{x}=-\frac{\hat{m_t}}{n_t+\epsilon}*\eta$

可以看出，Adamax學習率的邊界范圍更簡單

Nadam

Nadam類似於帶有Nesterov動量項的Adam。公式如下：

$\hat{g_t}=\frac{g_t}{1-\Pi_{i=1}^t\mu_i}$

$m_t=\mu_t*m_{t-1}+(1-\mu_t)*g_t$

$\hat{m_t}=\frac{m_t}{1-\Pi_{i=1}^{t+1}\mu_i}$

$n_t=\nu*n_{t-1}+(1-\nu)*g_t^2$

$\hat{n_t}=\frac{n_t}{1-\nu^t}$ $\bar{m_t}=(1-\mu_t)*\hat{g_t}+\mu_{t+1}*\hat{m_t}$

$\Delta{\theta_t}=-\eta*\frac{\bar{m_t}}{\sqrt{\hat{n_t}}+\epsilon}$

可以看出，Nadam對學習率有了更強的約束，同時對梯度的更新也有更直接的影響。一般而言，在想使用帶動量的RMSprop，或者Adam的地方，大多可以使用Nadam取得更好的效果。

經驗之談

對於稀疏數據，盡量使用學習率可自適應的優化方法，不用手動調節，而且最好采用默認值
SGD通常訓練時間更長，但是在好的初始化和學習率調度方案的情況下，結果更可靠
如果在意更快的收斂，並且需要訓練較深較復雜的網絡時，推薦使用學習率自適應的優化方法。
Adadelta，RMSprop，Adam是比較相近的算法，在相似的情況下表現差不多。
在想使用帶動量的RMSprop，或者Adam的地方，大多可以使用Nadam取得更好的效果

最后展示兩張可厲害的圖，一切盡在圖中啊，上面的都沒啥用了... ...

圖5：SGD optimization on loss surface contours

圖6：SGD optimization on saddle point

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