1. 概述
梯度下降（gradient descent）在機器學習中應用十分的廣泛，不論是在線性回歸還是Logistic回歸中，它的主要目的是通過迭代找到目標函數的最小值，或者收斂到最小值。
本文將從一個下山的場景開始，先提出梯度下降算法的基本思想，進而從數學上解釋梯度下降算法的原理，解釋為什么要用梯度，最后實現一個簡單的梯度下降算法的實例！
2. 梯度下降算法
2.1 場景假設
梯度下降法的基本思想可以類比為一個下山的過程。
假設這樣一個場景：一個人被困在山上，需要從山上下來(找到山的最低點，也就是山谷)。但此時山上的濃霧很大，導致可視度很低；因此，下山的路徑就無法確定，必須利用自己周圍的信息一步一步地找到下山的路。這個時候，便可利用梯度下降算法來幫助自己下山。怎么做呢，首先以他當前的所處的位置為基准，尋找這個位置最陡峭的地方，然后朝着下降方向走一步，然后又繼續以當前位置為基准，再找最陡峭的地方，再走直到最后到達最低處；同理上山也是如此，只是這時候就變成梯度上升算法了
2.2 梯度下降
梯度下降的基本過程就和下山的場景很類似。
首先，我們有一個可微分的函數。這個函數就代表着一座山。我們的目標就是找到這個函數的最小值，也就是山底。根據之前的場景假設，最快的下山的方式就是找到當前位置最陡峭的方向，然后沿着此方向向下走，對應到函數中，就是找到給定點的梯度 ，然后朝着梯度相反的方向，就能讓函數值下降的最快！因為梯度的方向就是函數之變化最快的方向(在后面會詳細解釋)
所以，我們重復利用這個方法，反復求取梯度，最后就能到達局部的最小值，這就類似於我們下山的過程。而求取梯度就確定了最陡峭的方向，也就是場景中測量方向的手段。那么為什么梯度的方向就是最陡峭的方向呢？接下來，我們從微分開始講起：
2.2.1 微分
看待微分的意義，可以有不同的角度，最常用的兩種是：
- 函數圖像中，某點的切線的斜率
- 函數的變化率
幾個微分的例子：
1.單變量的微分，函數只有一個變量時
2.多變量的微分，當函數有多個變量的時候，即分別對每個變量進行求微分
2.2.2 梯度
梯度實際上就是多變量微分的一般化。
下面這個例子：
我們可以看到，梯度就是分別對每個變量進行微分，然后用逗號分割開，梯度是用<>包括起來，說明梯度其實一個向量。
梯度是微積分中一個很重要的概念，之前提到過梯度的意義
- 在單變量的函數中，梯度其實就是函數的微分，代表着函數在某個給定點的切線的斜率
- 在多變量函數中，梯度是一個向量，向量有方向，梯度的方向就指出了函數在給定點的上升最快的方向
**這也就說明了為什么我們需要千方百計的求取梯度！**我們需要到達山底，就需要在每一步觀測到此時最陡峭的地方，梯度就恰巧告訴了我們這個方向。梯度的方向是函數在給定點上升最快的方向，那么梯度的反方向就是函數在給定點下降最快的方向，這正是我們所需要的。所以我們只要沿着梯度的方向一直走，就能走到局部的最低點！
2.3 數學解釋
首先給出數學公式：
此公式的意義是：J是關於Θ的一個函數，我們當前所處的位置為Θ0點，要從這個點走到J的最小值點，也就是山底。首先我們先確定前進的方向，也就是梯度的反向，然后走一段距離的步長，也就是α，走完這個段步長，就到達了Θ1這個點！
2.3.1 α
α在梯度下降算法中被稱作為學習率或者步長，意味着我們可以通過α來控制每一步走的距離，以保證不要步子跨的太大扯着蛋，哈哈，其實就是不要走太快，錯過了最低點。同時也要保證不要走的太慢，導致太陽下山了，還沒有走到山下。所以α的選擇在梯度下降法中往往是很重要的！α不能太大也不能太小，太小的話，可能導致遲遲走不到最低點，太大的話，會導致錯過最低點！
2.3.2 梯度要乘以一個負號
梯度前加一個負號，就意味着朝着梯度相反的方向前進！我們在前文提到，梯度的方向實際就是函數在此點上升最快的方向！而我們需要朝着下降最快的方向走，自然就是負的梯度的方向，所以此處需要加上負號；那么如果時上坡，也就是梯度上升算法，當然就不需要添加負號了。
3. 實例
我們已經基本了解了梯度下降算法的計算過程，那么我們就來看幾個梯度下降算法的小實例，首先從單變量的函數開始，然后介紹多變量的函數。
3.1 單變量函數的梯度下降
我們假設有一個單變量的函數
函數的微分，直接求導就可以得到
初始化，也就是起點，起點可以隨意的設置，這里設置為1
學習率也可以隨意的設置，這里設置為0.4
根據梯度下降的計算公式
我們開始進行梯度下降的迭代計算過程：
如圖，經過四次的運算，也就是走了四步，基本就抵達了函數的最低點，也就是山底
3.2 多變量函數的梯度下降
我們假設有一個目標函數
現在要通過梯度下降法計算這個函數的最小值。我們通過觀察就能發現最小值其實就是 (0，0)點。但是接下來，我們會從梯度下降算法開始一步步計算到這個最小值！
我們假設初始的起點為：
初始的學習率為：
函數的梯度為：
進行多次迭代：
我們發現，已經基本靠近函數的最小值點
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