梯度下降算法

梯度下降算法詳解

介紹

如果說在機器學習領域有哪個優化算法最廣為認知，用途最廣，非梯度下降算法莫屬。梯度下降算法是一種非常經典的求極小值的算法，比如在線性回歸里我們可以用最小二乘法去解析最優解，但是其中會涉及到對矩陣求逆，由於多重共線性問題的存在是很讓人難受的，無論進行L1正則化的Lasso回歸還是L2正則化的嶺回歸，其實並不讓人滿意，因為它們的產生是為了修復此漏洞，而不是為了提升模型效果，甚至使模型效果下降。但是換一種思路，比如用梯度下降算法去優化線性回歸的損失函數，完全就可以不用考慮多重共線性帶來的問題。其實不僅是線性回歸，邏輯回歸同樣是可以用梯度下降進行優化，因為這兩個算法的損失函數都是嚴格意義上的凸函數，即存在全局唯一極小值，較小的學習率和足夠的迭代次數，一定可以達到最小值附近，滿足精度要求是完全沒有問題的。並且隨着特征數目的增多（列如100000），梯度下降的效率將遠高於去解析標准方程的逆矩陣。神經網絡中的后向傳播算法其實就是在進行梯度下降，GDBT(梯度提升樹)每增加一個弱學習器（CART回歸樹）,近似於進行一次梯度下降，因為每一棵回歸樹的目的都是去擬合此時損失函數的負梯度，這也可以說明為什么GDBT往往沒XGBoost的效率高，因為它沒辦法擬合真正的負梯度，而Xgboost 的每增加的一個弱學習器是使得損失函數下降最快的解析解。總之梯度下降算法的用處十分廣泛，我們有必要對它進行更加深入的理解。

關於梯度下降算法的直觀理解

關於梯度下降算法的直觀理解，我們以一個人下山為例。比如剛開始的初始位置是在紅色的山頂位置，那么現在的問題是該如何達到藍色的山底呢？按照梯度下降算法的思想，它將按如下操作達到最低點：

第一步，明確自己現在所處的位置

第二步，找到相對於該位置而言下降最快的方向

第三步， 沿着第二步找到的方向走一小步，到達一個新的位置，此時的位置肯定比原來低

第四部， 回到第一步

第五步，終止於最低點

按照以上5步，最終達到最低點，這就是梯度下降的完整流程。當然你可能會說，上圖不是有不同的路徑嗎？是的，因為上圖並不是標准的凸函數，往往不能找到最小值，只能找到局部極小值。所以你可以用不同的初始位置進行梯度下降，來尋找更小的極小值點，當然如果損失函數是凸函數就沒必要了，開開心心的進行梯度下降吧！比如下面這種：

問題是，如何用數學語言去描述以上5步呢？

梯度下降算法的理論推導

一元函數

一元函數的導數我相信大家都學過，其幾何意義是某點切線的斜率，除此之外它還能表示函數在該點的變化率，導數越大，說明函數在該點的變化越大。

\[f^{\prime}\left(x_{0}\right)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}+\Delta x\right)-f\left(x_{0}\right)}{\Delta x} \]

則導函數本身則代表着函數沿着ｘ方向的變化率

二元函數

對於二元函數，ｚ＝ｆ（ｘ，ｙ），它對ｘ和ｙ的偏導數分別表示如下：

函數在ｙ方向不變的情況下，函數值沿ｘ方向的變化率

函數在ｘ方向不變的情況下，函數值沿ｙ方向的變化率

有了以上的了解，我們分別知道了函數在單獨在ｘ和ｙ方向上的變化率

現在有一個問題，我想知道函數在其他方向上的變化率怎么辦？

比如下圖中的ｕ方向上：

其實是可以做到的，我們都學過，在一平面中，任意一向量都可以用兩個不共線的基向量表示，也就是說任意一方向上的變化，都可以分解到ｘ和ｙ兩個方向上。

比如，我想求ｕ方向上的變化率，根據導函數的定義

若：

\[\lim _{\Delta u \rightarrow 0} \frac{\Delta z}{\Delta u}=\lim _{\Delta u \rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta u * \cos \alpha, y+\Delta u * \sin \alpha)-f(x, y)}{\Delta u} \]

　　　　　　　　　　其中α是ｕ方向與ｘ正方向的夾角

極限存在，可用洛必達法則，分子分母同時對\(\Delta u\)求導

原式等於：

\[\lim _{\Delta u \rightarrow 0} f_{x}(x, y) \cos \alpha+f_{y}(x, y) \sin \alpha=f_{x}(x, y) \cos \alpha+f_{y}(x, y) \sin \alpha \]

令：

\[D_{u}(x, y)=f_{x}(x, y) \cos \alpha+f_{y}(x, y) \sin \alpha \]

這是一個自變量是α的函數，我們將其命名為方向導數，其表明隨着α的不同，方向不同，函數的變化率不同。

至此，我們推出了，方向導數的概念，還記得我們的梯度下降算法的第二步是什么嗎？

”找到相對於該位置而言下降最快的方向“

而我們的方向導數，本身代表的就是函數變化率與方向的關系，也就是說我們需要利用方向導數，找到使得函數變化率最大的方向

那么，問題來了，在哪一個方向上變化率最大呢？

尋找函數變化率最大的方向－梯度

我們可以這樣改寫，令：

\[\vec{A}=\left(f_{x}(x, y), f_{y}(x, y)\right), \vec{I}=(\cos \alpha, \sin \alpha) \]

則：

\[D_{u} f(x, y)=\vec{A} * \vec{I}=|\vec{A}| *|\vec{I}| * \cos \theta \]

　　　　　　　　　　　　 　θ是兩個向量的夾角

顯然，當θ＝０時，取得最大方向導數，也就說隨着α的改變，當兩個向量Ａ和Ｉ是平行的時候，取得最大方向導數，而此時Ｉ的方向就是下式的方向：

\[\left(f_{x}(x, y), f_{y}(x, y)\right) \]

我們把上式稱之為梯度，所以梯度方向是函數變化率最大的方向，更本質的說是函數增長最快的方向

所以，當我們需要最小化損失函數時，只需要使損失函數沿着負梯度前行，就能使損失函數最快下降。

更高元函數

二元函數的推導結論同樣可作用於更高元的函數。

所以，高元函數在某點的梯度就是對每一個自變量求偏導，組成的一個向量，在該點的取值，該向量的方向就是函數在該點處增長最快的方向，顯然，其負方向就是函數減少最快的方向

以下面的函數舉個例子，這是一個有n+1個自變量的函數，自變量是θ：

\[J(\theta)=J\left(\theta_{0} ; \theta_{1} ; \theta_{2} ; \ldots ; \theta_{n}\right) \]

首先呢，隨機化一個我們梯度下降的初始位置，全部為0吧，當然在神經網絡中可不能如此隨意：

\[\left[\theta_{0} ; \theta_{1} ; \theta_{2} ; \ldots ; \theta_{n}\right]=[0 ; 0 ; 0 ; \ldots ; 0] \]

計算梯度，對每一個自變量求偏導：

\[\left[\frac{\partial J(\theta)}{\partial \theta_{0}}, \frac{\partial J(\theta)}{\partial \theta_{1}}, \frac{\partial J(\theta)}{\partial \theta_{2}}, \cdots, \frac{\partial J(\theta)}{\partial \theta_{n}}\right] \]

將初始化的值0，代入上式梯度，就可以得到一個具體的向量，為什么是一個具體的向量呢？這個你要自己想想了

而該向量的方向就是函數在該點增長最快的方向

那么，顯然，我們需要往其負方向走一段距離，可是，如何往負方向走呢？其實一樣的道理，該負方向同樣將其分解到各個自變量的維度上，即其更新過程可寫成：

\[\theta_{i} :=\theta_{i}-\alpha \frac{\partial J(\theta)}{\partial \theta_{i}} \]

式中的減號表示往梯度的負方向改變

а為學習率，是一個大於0的數，它能控制沿着該方向走多長一段距離，不是步長

什么才是真正的步長？

一個式子說明足以，將當前位置θ代入下式，就是在該點處梯度下降的步長：

\[-\alpha\left[\frac{\partial J(\theta)}{\partial \theta_{0}} ; \frac{\partial J(\theta)}{\partial \theta_{1}} ; \frac{\partial J(\theta)}{\partial \theta_{2}} ; \cdots ; \frac{\partial J(\theta)}{\partial \theta_{n}} ;\right] \]

所以步長是一個有方向和模長的矢量，當然也是符合我們直觀上的理解的，你總要確定往哪個方向走以及步子邁多大。

應用：線性回歸的梯度下降解法

首先，我們給出線性回歸的損失函數，為了方便，不帶正則項：

\[J(\theta)=J\left(\theta_{0} ; \theta_{1} ; \theta_{2} \ldots ; \theta_{n}\right)=\frac{1}{2 m} \sum_{i=1}^{m}\left(f\left(x_{i}\right)-y_{i}\right)^{2} \]

其中：

\[f\left(x_{i}\right)=\theta_{0} x_{i 0}+\theta_{1} x_{i 1}+\theta_{2} x_{i 2}+\theta_{3} x_{i 3}+\ldots+\theta_{n} x_{i n} \]

\[x_{i}=\left[\begin{array}{c}{x_{i 0}} \\ {x_{i 1}} \\ {x_{i 2}} \\ {x_{i 3}} \\ {\dots} \\ {x_{i n}}\end{array}\right], x_{i 0}=1, y_{i} \in R \]

其更新過程可寫成：

\[\theta_{i} :=\theta_{i}-\alpha \frac{\partial J(\theta)}{\partial \theta_{i}} \]

具體的梯度下降流程：

第一步：先隨便假設一組θ,你要是喜歡可以全部取0

第二步循環迭代:

​ 第一次迭代：

\[\theta_{0} :=\theta_{0}-\alpha \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m}\left(f\left(x_{i}\right)-y_{i}\right) x_{i 0} \]

\[\theta_{1} :=\theta_{1}-\alpha \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m}\left(f\left(x_{i}\right)-y_{i}\right) x_{i 1} \]

\[....... \]

\[\theta_{n} :=\theta_{n}-\alpha \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m}\left(f\left(x_{i}\right)-y_{i}\right) x_{i n} \]

                  第二次迭代：

\[\theta_{0} :=\theta_{0}-\alpha \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m}\left(f\left(x_{i}\right)-y_{i}\right) x_{i 0} \]

\[\theta_{1} :=\theta_{1}-\alpha \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m}\left(f\left(x_{i}\right)-y_{i}\right) x_{i 1} \]

\[...... \]

\[\theta_{n} :=\theta_{n}-\alpha \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m}\left(f\left(x_{i}\right)-y_{i}\right) x_{i n} \]

\[...... \]

                    第x次迭代：......

第三步，滿足要求，循環結束，得到θ

參考資料：

1. 為什么梯度反方向是函數值局部下降最快的方向？https://zhuanlan.zhihu.com/p/24913912
2. 梯度下降（Gradient Descent）小結-劉建平 https://www.cnblogs.com/pinard/p/5970503.html