[國家集訓隊2012]tree(陳立傑)

題目

給你一個無向帶權連通圖，每條邊是黑色或白色。讓你求一棵最小權的恰好有need條白色邊的生成樹。
題目保證有解。

INPUT

第一行V,E,need分別表示點數，邊數和需要的白色邊數。
接下來E行
每行s,t,c,col表示這邊的端點(點從0開始標號)，邊權，顏色(0白色1黑色)。

OUTPUT

一行表示所求生成樹的邊權和。

SAMPLE

INPUT

2 2 1

0 1 1 1

0 1 2 0

OUTPUT

2

數據規模

0:V<=10
1,2,3:V<=15
0,..,19:V<=50000,E<=100000
所有數據邊權為[1,100]中的正整數。

解題報告

國家集訓隊的題，果然是好題= =

首先，我們觀察題面，顯然與最小生成樹有什么關系，但是，直接跑最小生成樹顯然也是不合理的，那么問題就在於，如何在跑最小生成樹的同時，還能保證白邊的個數？

正解是個很神奇的東西——二分

首先我們想怎么二分，我們注意到，邊權的范圍很小，是$[1,100]$，那么，我們是否可以通過控制白邊的邊權，達到在最小生成樹中控制白邊的數量呢？

顯然可以。

我們以$Kruskal$算法為例，我們進行$Kruskal$時，是以每條邊的邊權為依據，進行從小到大排序，然后從小到大取出各個邊，不斷加入連通分量中，最后形成最小生成樹。那么，當我們改變某一些邊的權值時，我們按權值排序得出的邊的序列也一定就會不一樣，那么，我們就可以通過控制權值來控制加入生成樹的白邊數了。

具體做法：

在$[-100,100]$中二分得到$mid$，讓所有白邊的權值加上該$mid$值，跑$Kruskal$，直到得到最終結果

但是，只是這樣就可以了嗎？

顯然不是。

我們考慮，假如我們點很少，只有$10+$個點，但是我們的邊很多，達到了$100000$，而且權值范圍還被限制在了$[1,100]$，那么顯然，會有許多等價的黑邊與白邊，即使加上了某一個權值，也可能會有很多白邊與很多黑邊相等價，當我們按照權值排序的同時，我們把黑邊與白邊混在了一起，然后我們就開始了$Kruskal$，那樣的話，我們本來可以得到剛好$need$條白邊，我們卻把一些與黑邊等價的白邊扔進了生成樹中，這樣的話，我們本來可以得到最優解，卻認為它是不合法的。

這時我們就需要處理一下這些等價的邊。

具體做法：

在二分后判斷時，我們不單單判斷此時白邊的數目是否等於$need$，而是將一切白邊數大於等於$need$的情況全部考慮上，然后，我們加上了（或者是減去，因為我們有負數）許多為了控制生成樹的權值，所以我們需要減去（或加上）這些權值，我們並不能將所有白邊修改的權值修改回去，而是將$need\times mid$權值處理掉，因為假如我們處理所有的白邊，我們可能將那些等價於黑邊的白邊也處理掉了，也就是相當於處理了黑邊，顯然是不合法的，所以我們只處理$need$條，也就是真正被當成白邊的白邊數量

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
using namespace std;
inline int read(){
    int sum(0),f(1);
    char ch(getchar());
    for(;ch<'0'||ch>'9';ch=getchar())
        if(ch=='-')
            f=-1;
    for(;ch>='0'&&ch<='9';sum=sum*10+(ch^48),ch=getchar());
    return sum*f;
}
struct edge{
    int s,e,w,col,tmp;
    friend bool operator<(const edge &a,const edge &b){
        return a.tmp==b.tmp?a.col<b.col:a.tmp<b.tmp;
    }
}a[100005];
int n,m,need;
int fa[50005];
inline int find(int x){
    if(fa[x]==x)
        return x;
    fa[x]=find(fa[x]);
    return fa[x];
}
int tp;
inline bool krus(){
    tp=0;
    int tot(0),whit(0);
    sort(a+1,a+m+1);
    for(int i=1;i<=m;++i){
        int s(a[i].s),e(a[i].e);
        int fs(find(s)),fe(find(e));
        if(fs!=fe){
            fa[fe]=fs;
            if(a[i].col==0)
                ++whit;
            ++tot;
            tp+=a[i].tmp;
            if(tot==n-1)
                break;
        }
    }
    return whit>=need;
}
inline int gg(){
    freopen("nt2012_tree.in","r",stdin);
    freopen("nt2012_tree.out","w",stdout);
    n=read(),m=read(),need=read();
    for(int i=1;i<=m;++i)
        a[i].s=read()+1,a[i].e=read()+1,a[i].w=read(),a[i].col=read();
    int l(-105),r(105),ans;
    while(l<=r){
        int mid((l+r)>>1);
        for(int i=1;i<=n;++i)
            fa[i]=i;
        for(int i=1;i<=m;++i){
            if(a[i].col==0)
                a[i].tmp=a[i].w+mid;
            else
                a[i].tmp=a[i].w;
        }
        if(krus())
            l=mid+1,ans=tp-need*mid;
        else
            r=mid-1;
    }
    printf("%d",ans);
    return 0;
}
int K(gg());
int main(){;}