Description
給你一個無向帶權連通圖，每條邊是黑色或白色。讓你求一棵最小權的恰好有need條白色邊的生成樹。
題目保證有解。
Input
第一行V,E,need分別表示點數，邊數和需要的白色邊數。
接下來E行,每行s,t,c,col表示這邊的端點(點從0開始標號)，邊權，顏色(0白色1黑色)。
Output
一行表示所求生成樹的邊權和。
Sample Input
2 2 1
0 1 1 1
0 1 2 0
0 1 1 1
0 1 2 0
Sample Output
2
Hint
V<=50000,E<=100000,所有數據邊權為[1,100]中的正整數。
題解
二分+$kruskal$
如果直接$kruskal$求最小生成樹,是無法保證白邊數量的,那么我們考慮如果改變白邊的數量。我們可以把白邊全部都加上一個權值,也就是我們二分的值,然后跑最小生成樹,同時記錄白邊數量。當白邊數量>=$need$時,$l=mid+1$,否則$r=mid−1$,更新答案就是這棵生成樹的權值和減去所有白邊的增量。
證明:
我們發現,如果我們給白邊增加權值,做最小生成樹,由於白邊權值增大,導致不容易選白邊。記$f(x)$為給白邊增加$x$($x$可為負)權值,做最小生成樹后,選白邊的數量。可以發現,$f(x)$隨$x$增大而減小,顯然可以二分。
其次,我們發現,由於黑邊的權值是不變的,與白邊權值不相互影響。同樣由於白邊之間關系相對不變,必然選出的$need$條白邊一定是符合題意的。
1 #include<map> 2 #include<ctime> 3 #include<cmath> 4 #include<queue> 5 #include<stack> 6 #include<cstdio> 7 #include<string> 8 #include<vector> 9 #include<cstring> 10 #include<cstdlib> 11 #include<iostream> 12 #include<algorithm> 13 #define LL long long 14 #define RE register 15 #define IL inline 16 using namespace std; 17 const int V=50000; 18 const int E=100000; 19 20 int mid; 21 int v,e,need,ans,cnt,tmp; 22 struct tt 23 { 24 int u,v,c,col; 25 }edge[E+5]; 26 27 IL int Kruskal(); 28 bool comp(const tt &a,const tt &b) {return a.c+(a.col^1)*mid<b.c+(b.col^1)*mid;} 29 30 int set[V+5]; 31 IL int find(int r) {return set[r]!=-1 ? set[r]=find(set[r]):r;} 32 33 int main() 34 { 35 scanf("%d%d%d",&v,&e,&need); 36 for (RE int i=1;i<=e;i++) scanf("%d%d%d%d",&edge[i].u,&edge[i].v,&edge[i].c,&edge[i].col); 37 int l=-100,r=100; 38 while (l<=r) 39 { 40 mid=(l+r)>>1; 41 if (Kruskal()>=need) l=mid+1,ans=tmp; 42 else r=mid-1; 43 } 44 printf("%d\n",ans); 45 return 0; 46 } 47 48 IL int Kruskal() 49 { 50 tmp=cnt=0; 51 int k=0; 52 memset(set,-1,sizeof(set)); 53 sort(edge+1,edge+1+e,comp); 54 for (RE int i=1;i<=e;i++) 55 { 56 int q=find(edge[i].u); 57 int p=find(edge[i].v); 58 if (p!=q) 59 { 60 k+=edge[i].col^1; 61 set[q]=p; 62 cnt++; 63 tmp+=edge[i].c; 64 if (cnt==v-1) break; 65 } 66 } 67 return k; 68 }
感謝Hzoi_Maple！
由於$COGS$數據會有不滿足恰好$need$條白邊的情況
打個比方有這樣的數據：加$0$時大於$need$，加$1$就小於$need$了。
這樣應該在跑最小生成樹的時候把所有的白邊都加上加的那個權值，結果就是最小生成樹的權值和減去$need*$加上的權值，多出來的那一部分完全可以當做黑邊來看，因為數據是$100000$的，這樣就可以了。（來自Hzoi_Maple）
排序的時候，如果邊權相同，要把白邊放在前面。
要計算當前至多能取多少白邊，當然要把白邊放前面。由於保證有解，在$cnt>=need$且$cnt$取最小值的方案下，一定能有黑邊把多余的白邊代替掉。
1 #include<map> 2 #include<ctime> 3 #include<cmath> 4 #include<queue> 5 #include<stack> 6 #include<cstdio> 7 #include<string> 8 #include<vector> 9 #include<cstring> 10 #include<cstdlib> 11 #include<iostream> 12 #include<algorithm> 13 #define LL long long 14 #define RE register 15 #define IL inline 16 using namespace std; 17 const int V=50000; 18 const int E=100000; 19 20 int mid; 21 int v,e,need,ans,cnt,tmp; 22 struct tt 23 { 24 int u,v,c,col,rc; 25 }edge[E+5]; 26 27 IL int Kruskal(); 28 IL void change(); 29 bool comp(const tt &a,const tt &b) {return a.rc==b.rc ? a.col<b.col:a.rc<b.rc;} 30 31 int set[V+5]; 32 IL int find(int r) {return set[r]!=-1 ? set[r]=find(set[r]):r;} 33 34 int main() 35 { 36 scanf("%d%d%d",&v,&e,&need); 37 for (RE int i=1;i<=e;i++) scanf("%d%d%d%d",&edge[i].u,&edge[i].v,&edge[i].c,&edge[i].col); 38 int l=-100,r=100; 39 while (l<=r) 40 { 41 mid=(l+r)>>1; 42 if (Kruskal()>=need) l=mid+1,ans=tmp-need*mid; 43 else r=mid-1; 44 } 45 printf("%d\n",ans); 46 return 0; 47 } 48 49 IL void change() 50 { 51 for (RE int i=1;i<=e;i++) edge[i].rc=edge[i].c+(edge[i].col^1)*mid; 52 } 53 IL int Kruskal() 54 { 55 change(); 56 tmp=cnt=0; 57 int k=0; 58 memset(set,-1,sizeof(set)); 59 sort(edge+1,edge+1+e,comp); 60 for (RE int i=1;i<=e;i++) 61 { 62 int q=find(edge[i].u); 63 int p=find(edge[i].v); 64 if (p!=q) 65 { 66 k+=edge[i].col^1; 67 set[q]=p; 68 cnt++; 69 tmp+=edge[i].rc; 70 if (cnt==v-1) break; 71 } 72 } 73 return k; 74 }