題目描述
- 今天的數學課上，Crash小朋友學習了最小公倍數(Least Common Multiple)。對於兩個正整數a和b，LCM(a, b)表示能同時整除a和b的最小正整數。例如，LCM(6, 8) = 24。
- 回到家后，Crash還在想着課上學的東西，為了研究最小公倍數，他畫了一張NM的表格。每個格子里寫了一個數字，其中第i行第j列的那個格子里寫着數為LCM(i, j)。一個45的表格如下：
1 2 3 4 5
2 2 6 4 10
3 6 3 12 15
4 4 12 4 20
- 看着這個表格，Crash想到了很多可以思考的問題。不過他最想解決的問題卻是一個十分簡單的問題：這個表格中所有數的和是多少。當N和M很大時，Crash就束手無策了，因此他找到了聰明的你用程序幫他解決這個問題。由於最終結果可能會很大，Crash只想知道表格里所有數的和mod20101009的值。
輸入輸出格式
- 輸入格式：
- 輸入的第一行包含兩個正整數，分別表示N和M。
- 輸出格式：
- 輸出一個正整數，表示表格中所有數的和mod20101009的值。
解題思路
- 很顯然，題目所求的就是\(Ans=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}lcm(i,j)\)
- 我們根據\(lcm(i,j)=\frac{ij}{gcd(i,j)}\)這個性質把它轉換成\(gcd\)
\[Ans=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}\frac{ij}{gcd(i,j)} \]
- 我們套路的枚舉\(gcd\)為\(d\)並且順便把它提到最前面
\[Ans=\sum_{d=1}^{min(n,m)}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}[gcd(i,j)=d]\frac{ij}{d} \]
- 將\(d\)給提出來，當然也可以看做是換枚舉項\(i,j\)為\(di,dj\)
\[Ans=\sum_{d=1}^{min(n,m)}d\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor\frac{m}{d}\rfloor}[gcd(i,j)=1]ij \]
- 利用\(\sum_{d|n}\mu(d)=[n=1]\)的性質，代入
\[Ans=\sum_{d=1}^{min(n,m)}d\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor\frac{m}{d}\rfloor}\sum_{x|gcd(i,j)}\mu(x)ij \]
- 這個枚舉\(gcd(i,j)\)約數的式子很不爽，所以我們枚舉\(x\)，這樣\(x\)與\(i,j\)無關就可以提到前面
\[Ans=\sum_{d=1}^{min(n,m)}d\sum_{x=1}^{min(\lfloor\frac{n}{d}\rfloor,\lfloor\frac{m}{d}\rfloor)}\mu(x)\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor\frac{m}{d}\rfloor}ij[x|gcd(i,j)] \]
- 我們可以將這個式子由枚舉\(i,j\)變為枚舉\(xu,xv\)(不用\(i,j\)這樣子看起來沒那么別扭)。因為這樣我們就可以不用處理\([x|gcd(i,j)]\)這個條件，因為它一定滿足。
\[Ans=\sum_{d=1}^{min(n,m)}d\sum_{x=1}^{min(\lfloor\frac{n}{d}\rfloor,\lfloor\frac{m}{d}\rfloor)}\mu(x)\sum_{xu=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}\sum_{xv=1}^{\lfloor\frac{m}{d}\rfloor}x^2uv \]
- 最后我們將\(x^2\)給提出來，就差不多化完了
\[Ans=\sum_{d=1}^{min(n,m)}d\sum_{x=1}^{min(\lfloor\frac{n}{d}\rfloor,\lfloor\frac{m}{d}\rfloor)}x^2\mu(x)(\sum_{u=1}^{\lfloor\frac{n}{dx}\rfloor}u)(\sum_{v=1}^{\lfloor\frac{m}{dx}\rfloor}v) \]
- 這個式子可以\(O(n)\)線性篩出\(x^2\mu(x)\)，最后兩個式子就是等差數列求和，可以用整除分塊優化。這道題就可以\(A\)了。
- 時間復雜度近似O(n)。復雜度式子是\(\sum_{i=1}^{n}\sqrt{\lfloor\frac{n}{i}\rfloor}\)這個積分后差不多是O(n)，經過測試，系數約為2.6左右，因此是跑的過的
Code:
#include<bits/stdc++.h>
#define N 10010000
using namespace std;
inline void read(int &x)
{
x=0;
static int p;p=1;
static char c;c=getchar();
while(!isdigit(c)){if(c=='-')p=-1;c=getchar();}
while(isdigit(c)) {x=(x<<1)+(x<<3)+(c-48);c=getchar();}
x*=p;
}
const long long mod=20101009;
int n,m;
bool vis[N];
int cnt,prim[N],mu[N];
long long sum[N];
void get_mu(int maxn)
{
mu[1]=1;
for(int i=2;i<=maxn;i++)
{
if(!vis[i]){prim[++cnt]=i;mu[i]=-1;}
for(int j=1;j<=cnt&&prim[j]*i<=maxn;j++)
{
vis[i*prim[j]]=1;
if(i%prim[j]==0)break;
else mu[i*prim[j]]=-mu[i];
}
}
for(int i=1;i<=maxn;i++)(sum[i]=sum[i-1]+1ll*mu[i]*1ll*i%mod*1ll*i%mod)%=mod;
}
int main()
{
// freopen(".in","r",stdin);
// freopen(".out","w",stdout);
read(n);read(m);
int max_rep=0;
get_mu(max_rep=min(n,m));
long long ans=0;
long long inv2=(mod+1ll)/2ll;
long long summ=0;
for(int d=1;d<=max_rep;d++)
{
int maxx=n/d,maxy=m/d,minn=min(maxx,maxy);
summ=0ll;
for(int l=1,r;l<=minn;l=r+1ll)
{
r=min(maxx/(maxx/l),maxy/(maxy/l));
(summ+=(sum[r]-sum[l-1])%mod*(((1ll+maxx/l)%mod*1ll*(maxx/l)%mod*inv2%mod)%mod)%mod*(((1ll+maxy/l)%mod*1ll*(maxy/l)%mod*inv2%mod)%mod)%mod)%=mod;
}
(ans+=summ*1ll*d)%=mod;
}
cout<<(ans%mod+mod)%mod<<endl;
return 0;
}