前言
兩個月前，老婆不知道吃錯了什么葯，心血來潮買了幾本書，全是什么給孩子講數學，量子物理之類的，小小才六歲啊…還有一部小說《三體》，當然，這肯定是她自己想看的了，也許是看到了有人總拿《三體》跟《盜墓》系列比較吧，而她是喜歡《盜墓》系列的，所以再買來《三體》也不足為奇了。這部小說在書架上躺了一個月，在我把一本講加解密算法的書看完以后，實在沒有什么看了，就抽出了《三體》的第一部拿走上班路上看了，我本以為第二天就會放回去的，因為我幾乎從來不看小說的。然而竟然卻利用零零散散地時間看完了全部的三部曲！
看完后也是久久不能平靜，以至於我開始翻箱倒櫃地找我之前寫的那些物理學筆記和論文(關於光學和量子物理的)，准備繼續下去，然而沒有找到，我很焦急，我想到它們可能在老家，也可能在上海的家里，我甚至都想抽個周末飛回上海去尋找這些東西，這想法有點瘋狂，但這就是事實。
…
老婆帶着小小去北京參加比賽了，留我自己在家，臨走還幫我塞滿了一冰箱啤酒，真是體貼…今天周末，沒有工作的遺留，沒有家務事，我想是時候寫點關於《三體》的一點思考了。
把思緒整理成文章是一件比較困難的事情，有時終於寫完了，卻發現文中並沒有包括全部的思路，於是就是補遺再補遺，這比寫那種技術總結難多了，真是的。不管怎樣，我想試試看，如果有遺漏的東西，只好后面再補遺和潤色了。
正文
在拖沓中看完了《三體》的全部三部，給我的感覺除了宏大還是宏大，第一部主要交代了大環境以及故事上演的前傳，一切因罪惡而生，一切因恨而始發，然后在第二部中，面壁計划，威懾紀元，黑暗森林似乎只是將地球上自美蘇爭霸開始以來的故事在宇宙中重新又上演，揭示了在宇宙的暗處還有很多更狠的角色，這就為第三部埋下了伏筆，第三部是徹底燒腦的傑作，不像其它幾乎所有的科幻作品，在危機到來的時候，終究會出現一個超級英雄拯救世界，《三體》不是這樣，三體讓太陽熄滅了，這是另一種幸運，因為在“黑暗森林”中，只有“死神永生”！前后呼應，一氣呵成，最終的結局是開放式的，這也是多元化當代小說的一種必然的趨勢。
在整體構思和框架布局上，我覺得《三體》是非常優秀的，雖然大劉的文筆在敘事上稍顯拖沓，但也展現了幾個個性鮮明的人物形象，也還算過關，當然，這方面是遠遠沒法和《盜墓》系列比的。不過本文不准備扯這些，這些今后會專門寫一篇文章，本文是想解釋三個概念，即畫像，降維打擊以及黑暗森林，其中牽扯的東西會比較多比較雜，也不一定都是對的，我想說這篇文章只是記錄了一個思考的過程，它並不是學術論文或者技術文檔，算是一篇隨筆吧。
1.畫像與泰勒展開
和往常的文章風格一樣，我不准備在文中羅列各種已經命題的解法，證法，這些從教科書上都能看到，我想提供一個直觀的觀感，可以讓不懂微積分的人也能有一個感性的認識，或許，在最好的情況下，我的文字可能讓一些已經放棄學習高數的人猛然覺得：原來是這樣！
畫師作畫和工程師不同，畫師不會去測量，只是去感悟，去觀察就好了，然后把大腦里加工后的東西用線條展現出來。
在古希臘，曾經有一個畢達哥拉斯學派，在他們的眼里，宇宙就是數與數的關系構成的，數是組成宇宙的基本元素，他們試圖用各種方法去直觀地用數表示各種關系，從而發明了超級多的“具有幾何意義”的算術，然而有一天，一位叫做希帕索斯的門徒，發現了一個不可名狀的關系，導致了整個哲學體系面臨崩塌的危險，這個希帕索斯也為惹這么大的事付出了生命的代價，現在我們知道，這個希帕索斯所謂的不可名狀的關系就是2√.現在我們還知道，數學界早就可以為畢達哥拉斯學派眼里“不可名狀的關系”來“畫像”了。
…
自然對數e是個什么東西，如何去描述它，它也是不可名狀的，就像2√，π一樣…還記得雲天明講給程心的那三個故事嗎？針眼畫師畫像的故事，如果給他一個e，他要怎么把它畫出來？
幸運的是，在我們這個真實的世界，就曾經有一位針眼畫師，布魯克.泰勒，他向e扔去了一塊二向箔，於是e就被他刻畫出來了。
我們來猜測一下，他是怎么做到的。
通過閱讀《三體》小說以及學過的一些數學知識，加上我自己的一些思考，我總結出了兩點原則：
1.自然界是全息的，分形的，從一個點可以窺見整個世界；
2.自然界是多維的，通過不斷的降維，我們就可以完全認識它。
好吧，就以上兩點，我們來看看怎么從一個點出發，去用簡單的線條刻畫復雜的不可名狀的東西。為了描述方便，我用數學函數來代替整個世界。
首先，我們先來定義一下什么是簡單的，什么是復雜的不可名狀的。簡單點說，像axn+bxm+cxp...這種二項式就是簡單的，因為它是可是手算的，完全靠四則混合運算就能搞得定，那些相反，像π，e，正弦函數，余弦函數等三角函數這些就是復雜的，如果我問sin(20)$等於幾，你要么查表，要么用計算器，反正用四則混合運算你是搞不定的…
如果能用二項式的組合去擬合任意曲線，那么這種組合的方法將會成為畫師最強有力的畫筆，而這是完全可能的，我們只需要一些可以映射到坐標系y軸任意位置的二項式函數，用這些函數組合起來就可以得到任意函數的擬合函數。我有一個示意圖如下：
將這些最基本的二項式函數曲線經過伸縮平移之后，就可以通過它們的組合擬合任何函數曲線了。那么，我就用正弦函數來舉例吧，正弦函數如下：
最神奇的東西就是受精卵了，它竟然能從一個那么小的，肉眼看不見的小細胞，長成一百多斤的人，顯微鏡下看到的那一顆顆受精卵是如此的相同，以至於猜想它們將來最多長大成一個個大肉球是合理的想法…然而，最終卻出現了美女，帥哥，天才，傻逼…一顆小受精卵里面究竟蘊含着多少信息啊？！
我試圖在本文中通過sinx來解釋。我們畫出sinx的圖像如下：
我們標注函數圖像上的一個點，為了方便起見，我選擇了原點，然后我們再疊加一條直線y=x在同一個坐標系中，同樣取該直線上的經過原點的那個點：
試問，y=sin(x)和y=x上的這兩個點有什么區別？答案是沒有區別！
暫且打住，經過原點的直線多了，隨便舉一個例子，y=3x，這條直線上經過原點的點坐標也是(0,0)，它和y=sin(x)的(0,0)是不是也相同呢？答案是完全不同！當我們說兩條曲線上對應的兩個點相同的時候，有兩層含義：
- 兩個點的坐標相同；
- 兩個點的走勢相同。
很明顯y=3x這條直線與y=x是完全不同的：
事實上很容易證明下面的等式是成立的(本文不會給出證明，參考隨便一本講微積分的書)：
而
這就意味着在(0,0)點附近，可以用y=x而不能用其它直線來近似模擬y=sin(x)。
然而當我們把視角逐漸拉遠，就會發現，當x取值偏離(0,0)點時，y=sin(x)和y=x兩條曲線很快分道揚鑣了，這種粗糙的模擬在更大的范圍內顯然是不對的。既然我們承認自然界從一個點可以窺見全世界，那么接下來就是怎么做的問題了。
答案就是切割，降維！當然，在數學上就是不斷求導，其實我不喜歡“求導”這種說法。我們需要用切割，降維，或者說求導(以后就說求導吧，這樣更專業些)方法，把蘊含在這單獨的一個點中的信息給拽出來，我們現在在做的事情就是從一顆受精卵里拽出一個成人，從一顆粒子中觀看整個世界。
對一個函數求導可以得到另一個函數，該點的坐標代入這另一個函數所得到的函數值表示原函數在該點的走勢，這個走勢包含的意思包括兩個方面，曲線延展的強度大小和曲線延展方向，換句話說，它是個矢量。有了這個走勢信息，我們就能預測在稍微偏理原點時，函數曲線的大致走向了，這就使得對整個y=sin(x)的畫像向前又描了一筆。事實上，y=x這條直線就是y=sin(x)在原點處的切線，它可以在原點附近近似代替y=sin(x)，換句話說這條直線的斜率1是對y=sin(x)求導得到導函數y=cos(x)在x=0時的y值，它預示着y=sin(x)的走勢就是從原點開始仰角45°斜向上，除此之外就不再有任何信息了.
既然我們知道了這個信息，那么我們就可以通過導函數y=cos(x)再次求導，得到原函數y=sin(x)走勢的走勢，而這個走勢的走勢在離開原點再遠一點的x點處體現，很遺憾，我們選的原點代入導函數的導函數y=−sin(x)后結果為0，不過沒關系，繼續就是了，再對它求導，導函數是y=−cos(x)，x=1代入，得到-1，我們得到了y=sin(x)在x=0處的“走勢的走勢的走勢”，下面看下效果：
好了，現在讓我們繼續，能不能再求出“走勢的走勢的走勢的走勢”呢？這樣刻畫y=sin(x)畫像的過程又可以往前走一筆了…再進一步，我們繼續求“走勢的走勢的….的走勢”…“走勢的走勢…的走勢”這將在擬合過程中和原點漸行漸遠，最終，當這個遞歸足夠深的時候，我們就可以說：你看，我畫出了y=sin(x)！我們來試試看：
…
可見，隨着n階求導的深入，用xn配劑配出來的曲線越來越擬合y=sin(x)，我們有理由說，如果這個過程無限繼續下去，最終我們會得到和y=sin(x)完全擬合的曲線，當然我們知道這永遠不會停止，就像程心的發問一樣，太陽系的二維化什么時候停止，得到了一個令人悲哀的回答：永遠不會停止。
還記得我們的宗旨嗎？用二項式函數曲線去擬合任意函數曲線，也許你會問當最終的表達式寫出來前，是如何確定每一個二項式項的系數的，其實這個並不是理論的重點，而純粹是一個“技術”活兒，完全可以通過待定系數法確定系數，以下是一個簡單的推導過程，並不嚴謹，但可以說明問題：
假設y=f(x)可以展開成以下形式：
f(x)=f(p)+a1(x−p)+a2(x−p)2+a3(x−p)3...
其從1到n階導數分別為：f(1)(x)=0+a1+2a2(x−p)+3a3(x−p)2...
f(2)(x)=0+0+a2+3!a3(x−p)+...
f(3)(x)=0+0+0+3!a3+...
…
觀察上面的序列，會得到：
f(1)(p)=1!a1
f(2)(p)=2!a2
f(3)(p)=3!a3
…
所以：
a1=f(1)(p)1!
a2=f(2)(p)2!
a3=f(3)(p)3!
…
最終，就會得到泰勒公式：
f(x)=f(p)+f(1)(p)1!(x−p)+f(2)(p)2!(x−p)2+f(3)(p)3!(x−p)3...
這個推導過程，有個前提，在技術上，只要保證原函數的各階導數與二項式展開后的表達式的各階導數相等，就可以說明展開后的表達式曲線已經無限擬合原函數曲線了，我覺得這個前提的假設是合理的，不然又能怎樣呢？至少它是兩條曲線擬合的必要條件。用這個簡易推導的結論套在上面關於y=sin(x)的擬合上，基本就什么都清晰了。
多階導數的不斷求解是一個不斷修正的過程，畫過素描的應該都知道這個過程是怎么進行的。
好吧，到此為止，應該把這個說清楚了，並且我們已經知道了y=sin(x)到底長什么樣子了，這一切就是布魯克.泰勒的泰勒級數所要展示的畫卷。
泰勒發現了自然界的秘密，從一個點看世界，如果我們把世界的元素在時間軸上拉伸，就可以看出，每一個元素，不管再渺小都是沿着時間軸按照自己的內在趨勢發展的，因此當我們把所謂的趨勢也維度化的時候，就會發現，每一維度的趨勢組成了一個正交基，在數學上，這正是通過一個函數表達式的各階導數來展現的，通俗點說，這個正交基就是：
(原值，趨勢，趨勢的趨勢，趨勢的趨勢的趨勢，趨勢的趨勢的趨勢的趨勢，趨勢的趨勢的趨勢的趨勢的趨勢，…)
再次回到受精卵，正是不同的受精卵在以上各階趨勢維度上的分量不同，導致了最終長大后都成了獨一無二的個體…另外，我們所謂的無理數，也是通過這種方式來“隱藏自己”的，如果說一個生物體的生長過程就是一個“泰勒展開”過程的話，那么刻畫一個無理數就必須由你自己來做了，泰勒級數提供了一個可以將它拽出來的方法，至少你可以體驗將它揪出來的過程，因為你不可能將它完全拽出來，它是無限長的，任何人都永遠拽不完！
除了泰勒展開，還有更好玩的，那就是傅立葉展開。
如果說泰勒展開是把任意曲線用“各階趨勢”的分量求和表示的話，那么傅立葉展開則試圖將任意曲線表示成“波形的疊加”。跟主音吉他手討論這個問題，主音說，一個音就是無數個音。
和泰勒的思想一樣，一就是所有。
泰勒展開和傅立葉展開，區別是什么？按照不同的規則作畫，規則不同而已，國畫和油畫的區別？隨便怎么說吧，反正就是這個意思。
2.歌者的降維打擊
歌者是卑微的，剩下的只有吟唱和擊打，歌者沒有憤怒，歌者微笑着，唱着歌，很坦然地熄滅了太陽。
我們高中有一個走路步伐比較猛的同學，比較能打架，后來做了刑警，他打架的時候一般不是氣沖沖地打，而是唱着歌，微笑着，時而嘴里夾着咒罵，一般搖擺身軀一遍打，但是跟尼古拉斯趙四不同，他唱歌搖擺的時候已經開打了…歌者正是這樣的風格。這部小說中，我喜歡的人不多，大致就是葉文潔，史強，章北海，歌者，AA，智子這六人，如果你也看過小說，就會發現，這六人有個共同點，那就是做事理智，不含糊，幾乎從不煽情，幾乎從不動容，和汪淼，邏輯，程心，雲天明，關一帆，三體聯絡員這些事兒精的矯情之人完全不同。但在這六人中，只有歌者是一邊感慨一邊工作，而且感慨絲毫不耽誤工作。
“
…
很有意思，很有意思！
…
歌聲中，歌者用力場觸角拿起二向箔，漫不經心地把它擲向彈星者。
…
”
在《三體》中，歌者采用了一種完全不同的方式來作畫，稱之為“歌者展開”似乎是合理的，然而歌者只是一個卑微的角色，所以叫做“二向箔展開”更加合適。
名稱不重要，現在的問題是，就像邏輯，程心他們在冥王星保存地球博物館遺跡時所期望的那樣，已經二維化的太陽系真的可以在以后被還原嗎？
首先，我們看一下藍色空間號在四維干掉水滴的事，沒看過小說的只要了解到一個事實就好了，在高一維的空間中，可以肆意突破低維的任意障礙。我以下圖舉例：
對於一維的人而言，二維的攻擊者是突然出現的，即便你在一維設置了個永久且堅固的障礙，也還是會被二維的攻擊者輕易繞過，從另一個維度繞過。水滴就是這樣慘死的。
這只是事情的一個方面，事情的另一方面是，所謂的降維並不是簡單的垂直映射和投影，因為這必然會丟失一個維度的信息，然而信息不可能憑空丟失，它是守恆的。另外，降維打擊也不是一個“踩扁”的過程，因為就算踩的再扁，也還是會有厚度的，畢竟再劇烈的操作都是在實施攻擊的維度內進行的，在同一維度，不可能憑空讓一個維度消失，因此，降維打擊實際上是一個重新映射的過程，比如可以把二維平面的點(x,y)映射成一維平面的方程組：
這就是降維打擊！或者說按照上一節說的泰勒展開的原則，降維也是一個求導的過程，那么什么樣的存在時可以抵擋降維打擊的呢？其實很簡單：
- 1.適應–掌握映射規則，自己在降維后的空間里繼續生存；
- 2.改變–掌握積分規則，它求導你就積分，與之對抗；
- 3.隨緣–把自己變成y=ex，金剛不壞（y=ex導數是自身）.
在小說中，歌者從種子長老那里獲知，他們自己也在二維化了，然而卻沒有毀滅，相反這是為了戰爭的勝利…因為他們自己掌握了映射規則，他們可以在二維世界繼續生存，他們是做了一系列前置工作后主動降維的。然而地球文明不可能瞬間掌握映射規則，所以在二維化的一瞬間，就什么都沒有了。
這里我曾經有一個疑問，那就是，即便地球文明掌握了二維化的映射規則，人體能擋得住那種強度的物理攻擊嗎？就像人被吸入黑洞或者進入蟲洞到達另外一個地方一樣，在那一瞬間，人的肉身就會解體，即便殘骸到了另一個世界又能如何？因此即便掌握了映射規則，如果不做前置工作，個體的死亡依然是不可避免的。能存活的可能只是地球文明的人類按照逆二維化規則保存下來的“自己文明的證明”吧。
我們已經看到了從低維到高維的意義以及從高維到低維的映射，那么問題是，一個低維的物體能順利在高維空間存在嗎？以我們三維空間為例，我們的物理規律比如距離的平方反比律，關於體積的立方律，為什么是平方，為什么是立方，這些都是跟空間維度有關的，如果到了四維空間，距離豈不成了立方反比律了？再考慮構成我們世界的基本粒子，無一不是遵循着這些與空間維度有關的各種物理規律，一旦到達高維空間或者低維空間而不做任何前置工作的話，基本粒子之間的作用力規律會完全瘋掉吧…基本粒子都瘋了，一個卑微的凡人如何保持體面？
(TODO)
3.黑暗森林和猜疑鏈
大劉的《三體》第二部說出了很多我們的心聲。
職場就是個黑暗森林，不管同事之間的關系再好，如果可能，誰都想不由分說，滅了對方，因為資源總量是一定的，每個人都要在職業道路上往上走，除非，除非你發表安全聲明。然而通過第三部《死神永生》我們知道，所謂的安全聲明就是禁錮自己，而這在職場上不可能的。
理解了這個，我便覺得大多數公司的薪資保密制度確實是多此一舉了，按照黑暗森林法則(前提你得相信它)，每個人最安全的做法就是隱藏自己，隱瞞自己的一切，長者不也是很贊同“悶聲發大財”這一說嗎？有誰會跟別人透露自己真實的薪資？
如果對方告訴你他可以拿到2萬，而此時你只有1.5萬的時候，你會相信他說的嗎？你告訴他你只有1.5萬的時候，他會相信你嗎？你怎么知道他是怎么想你的，萬一他相信了，他又是怎么揣測你的怎么想他的，….這個鏈條會一直遞歸到你的大腦棧溢出，這是一種沒有意義的能量損耗，所以說按照收益最大化的原則，要么隱瞞，要么先下手為強。
其實，黑暗森林的猜疑鏈只是整個黑暗森林的一個局部，優勝劣汰，弱肉強食，這是亘古不變的真理，與之相對應，便出現了各種應對措施，比如法，術，勢，陰謀，陽謀，王道，霸道，厚黑…不管采用什么措施，最終記住一點就好，那就是馬太效應，來自《新約·馬太福音》：
從前，一個國王要出門遠行，臨行前，交給3個仆人每人一錠銀子，吩咐道:“你們去做生意，等我回來時，再來見我。”國王回來時，第一個仆人說:“主人，你交給我的一錠銀子，我已
賺了10錠。”於是，國王獎勵他10座城邑。第二個仆人報告:“主人，你給我的一錠銀子，我已賺了5錠。”於是，國王獎勵他5座城邑。第三仆人報告說:“主人，你給我的1錠銀子，我一
直包在手帕里，怕丟失，一直沒有拿出來。”
於是，國王命令將第三個仆人的1錠銀子賞給第一個仆人，說:“凡是少的，就連他所有的，也要奪過來。凡是多的，還要給他，叫他多多益善。”
學會隱藏自己吧，黑暗森林里沒有坦誠。
4.還有一些沒說的
既然文中提到了泰勒展開，那就不能不提余項，然而這是教科書的做法，一般而言先講各種定理，公式，然后繼續說如何用這些定理，公式來解題，所謂的余項，是估計計算誤差的，各種中值定理(比如拉格朗日中值定理)只要能說明這個誤差(比如拉格朗日余項)趨向於0就可以了，這只是為了數學的嚴謹性，但是引入這個余項的概念，對我們理解將一個無理數無窮盡地展開是不利的，因為我的前提就是這個展開動作是永遠不會停止的，這也就使余項不再有存在的必要了。
我盡量不把那些復雜的東西包含在文中，比如線性代數，秩，偏振光…我記起，當時的幾大本子的筆記絕大部分都是寫量子力學，偏振光的，如果今天寫那些，估計這個周末要完全泡湯，又有極大的可能性會影響工作日的工作，所以只能打住，我也對自己感到抱歉，其實閉上眼睛，我是多么快樂地回憶起那時高中，大學的兩個教物理的劉老師，歷歷在目，恍若昨日！
…
后記
http://blog.csdn.net/dog250/article/details/75735806