序列自相關矩陣的計算和分析

序列自相關矩陣的計算和分析

這幾天在搞DSP的時候遇到的一些問題。略微整理了一下
在下文中，你將會看到：平穩過程究竟有什么意義、隨機信號處理是怎樣與固定信號分析聯系起來的、自相關函數的定義、自相關矩陣的意義和計算

平穩過程

平穩過程是現代數字信號處理的一個大問題
它的定義是: 統計特性不隨時間推移而改變的隨機過程
在嚴格的定義中，它須要隨機過程的各階矩都保持一個穩定的值。稱之為嚴平穩過程。

這非常難滿足
所以在顯示生活中。我們通常僅僅關注這個隨機過程的一階矩或者二階矩是不是保持平均。這就是我們之后要處理的過程，稱之為寬平穩過程。
舉個樣例 ：
我們想要測量一個恆壓電源的電壓
第一組測量 我們測得五個值：{10.3、10.2、10.1、9.7、9.6}
第二組測量 這次測得六個值：{9.9、10.1、10.2、9.6、10.2、10.1}
。

。。

這樣 在經歷多組測量之后。我們將每一組的測量結果分別平均。發現每一組的平均值都在10左右擺動，依據平穩的定義，我們事實上是須要，無論我們進行多少組測量、每一組的樣本有多少個值，終於我們所得的均值都是10的，這才是一個滿足一階矩平穩的寬平穩過程，在實際中。由於樣本數量的限制。我們得到的均值一般是漸進無偏預計，也就是說。在每一組樣本個數接近無限的時候才會使得其均值為10。所以假設每一組都在10左右擺動，我們就將其覺得是一個平穩過程了。

而還有一組同學想要測量一個上升信號的電壓
第一組測量得到：{1.1、2.3、2.8、4.0}
第二組測量得到：{5.1、4.3、4.9、6.1}
。。。
在這個測量中，我們發如今不同的組均值不一樣了。這就不是一個一階平穩過程，可是幸運的是。每一組數據的方差又大概保持在一個穩定的值，所以這是一個二階平穩過程

平穩過程有什么優點呢。非常多信號相關的書籍會告訴你這樣一句話：假設一個過程滿足平穩過程，就能夠用它的時間平均來取代其統計平均

這句話是這樣理解的，比方在之前一個樣例，我們想要知道該恆壓電源的電壓究竟是多少，我們就能夠通過測量一組數據。然后平均來估算得出。

這種估算方式有一個或許非常多人都會覺得是自然而然的，可是它事實上是建立在一個“該信號一階平穩”的前提下進行的。

自相關矩陣

在了解了寬平穩過程之后，我們來了解下自相關矩陣的概念
自相關矩陣定義是這種：
assume

x=[x1x2x3...xn]

the autocorrelation Mat is defined as

E(x∗xH)=⎡⎣⎢⎢⎢⎢E(x(0)∗x∗(0))E(x(1)∗x∗(0))...E(x(n)∗x∗(0))E(x(0)∗x∗(1))E(x(1)∗x∗(1))E(x(n)∗x∗(1)).........E(x(0)∗x∗(n))E(x(1)∗x∗(n))...E(x(n)∗x∗(n))⎤⎦⎥⎥⎥⎥

所以，假設我們想要求取一個序列的自相關矩陣，首先遇到的問題是須要知道這個序列的概率分布。可是這事實上是一個矛盾的問題：正是由於我們不知道這個序列概率分布系數，我們才會想要去通過預計求解的啊

回憶在概率與數理統計中學到的概念。假設我們想要預計一個量的期望（一階矩）事實上是能夠通過大量的樣本平均得到的。這個預計方法是有一個前提的：你每次我們所採樣的樣本都是從同一個概率空間中得到的。也就是說。每次我們進行採樣的樣本。都服從同一個概率分布。回憶之前所提到的 平穩過程，它事實上能夠理解為在時間維度上始終保持同一個概率分布（嚴格平穩）或者滿足某概率分布參數恆定（寬平穩）。

又回到了之前那句話：時間平均來取代其統計平均。

那么，該樣本時間序列上的期望在平穩的條件下也能夠等於其概率上的期望。

舉個樣例：

我們得到了有一個信號的時間序列 x=[12345]
如今。我想讓算一下它的自相關矩陣。自然的，我們首先想到的就是依照它的定義來求。也就是計算 E(x∗xH) ，問題這時候就出現了： E(x∗xH) 是求 x∗xH 的期望啊，可是我們並不知道信號的概率分布，僅僅知道它的一個個子序列。該怎樣求得期望呢。這時候。我們就假定這是一個平穩過程，然后就能夠使用時間平均來進行一個“預計”了。
比如，比方當我們想要預計 E(x(0)∗x∗(r)) 這個元素的時候，我們事實上是能夠使用N組相隔r的樣本序列乘積的平均得到其期望預計

E(x(0)∗x∗(r))=1n−r∑l=0n−rx(l)x(l+r)

對於信號序列 x 的 E(x(0)x(1)) ：

E(x(0)∗x∗(1))=14∑l=04x(l)x(l+1)=x(0)∗x(1)+x(1)∗x(2)+x(2)∗x(3)+x(3)∗x(4)4

和固定信號自相關公式的關系：
對照我們的自相關公式：

R(r)=∑l=0N−1x(l)x(l+r)

似乎和我們預計自相關矩陣系數的公式非常像。放過來對照一下：

E(x(0)∗x∗(r))=1n−r∑l=0n−rx(l)x(l+r)

實際上，由於樣本的數目有限。假設我們將未知的樣本所有補0，這個 R(r) 的上限也能夠縮減到 n−r
於是。我們能夠得到：

E(x(0)∗x∗(r))=1n−rR(r)

所以，自相關矩陣的系數就能夠使用自相關公式來求解了

討論

盡管我們成功求解了信號序列的自相關矩陣，但實際上來說，樣本長度為N的時候，我們對於 E(x(0)∗x∗(n−1)) 的預計就是一個非常危急的量了（由於滿足計算條件的樣本過少）所以說自相關矩陣里面的元素隨着下標的增大。其信度是在逐漸減少的。
其原因在於這個預計並非一個無偏預計：在概率論的課程中我們也能夠知道，統計量的期望預計准確性是和樣本數量成正比的，僅僅有在樣本數量接近於無限的時候，它才接近一個無偏預計。

參考資料
[1]時間序列分析簡明教程 張樹金、齊立心
[2]statistical digital signal processing and modeling Monson H’Hayes