這篇介紹的是最小支撐樹，常見的有Prim算法和Krustal算法。
支撐樹：連通圖G的某一無環連通子圖T若覆蓋G中所有的頂點，則稱作G的一顆支撐樹或生成樹(spanning tree)。
支撐樹必須覆蓋所有的頂點，並且不能有環路，因此是禁止環路前提下的極大子圖，也是保持通路前提下的最小子圖。一個圖可能有很多支撐樹，它們都包含n個頂點和n-1條邊。
最小支撐樹：在帶權網絡G所有的支撐樹中，成本最低的稱為最小支撐樹(MST)。
Prim算法
割(cut)：在圖G=(V;E)中，頂點集V的任一平凡子集U及其補集V\U構成一個割。如果邊uv滿足u屬於U且v不屬於U，稱作是該割的一條跨越邊(cross)。跨邊聯接於V及其補集之間，也稱作該割的一座橋。
Prim算法迭代的准則：最小支撐樹總是會采用聯接每一割的最短跨越邊。
算法的策略是貪心迭代：從一個點出發，每次都尋找已經得到的支撐樹子樹T'與剩余的點構成的割的最短跨越邊，並把它加入支撐樹。算法復雜度為O(n^2)，適合於稠密圖、
考慮算法的過程，我們可以在發現一個頂點時，把它的優先級設置為與子樹T’的聯邊的權重。實際上，也就是把頂點的優先級設置為跨越邊的權重，然后尋找那個最短的跨越邊，加入到子樹中。因此，這個問題也可以歸於優先級搜索的框架：
1 template<typename Tv, typename Te> struct PrimPU 2 { 3 virtual void operator()(Graph<Tv, Te>* g, int uk, int v) 4 { 5 if (g->status(v) == UNDISCOVERED)//對於uk每個尚未被發現的鄰接頂點v 6 if (g->priority(v) > g->weight(uk, v)) 7 { 8 g->priority(v) = g->weight(uk, v);//更新優先級數 9 g->parent(v) = uk;//更新父節點 10 } 11 } 12 };
只需要重寫優先級更新器即可。
Krustal算法
前面的prim算法是以每一割的最短跨越邊來擴展支撐樹，通過更新點的優先級可以選取點和樹邊。
如果不考慮動態邊的情況，而是直接選擇邊的長度，似乎可以更加直觀一點。這也是krustal算法的思想。
把圖中所有的邊，按照權重進行排序，然后從最短的邊開始，把邊和它的兩個端點u和v加入到支撐樹中。然后按照邊的順序，繼續選擇最短邊，檢查兩個端點是否已經在支撐樹中，如果兩個點都在，那么舍棄這條邊繼續進行；只有一個端點在，把這條邊和新增的頂點加入支撐樹，此時可能會是兩個子樹的合並操作；兩個端點都不在，成為一個新的子樹。知道已經有n-1條邊時算法結束。
krustal算法在某些時候的效率可能會很高，但有時效率可能會很低，需要檢查完所有的邊才能結束算法，比如其他點之間的邊權重很小，而某一點只與很少的點有聯邊且聯邊權重很大的情況。
另外，krustal算法要求圖可以提供兩種基本操作：一種是並，即把兩個支撐樹子樹合並起來；另一個是查，檢查一個頂點是否在子樹中。支持這樣的操作，稱為並查集。
算法時間復雜度為O(eloge)。復雜度與邊的數量有關，因此，該算法適合邊比較稀疏的圖。
我沒有想到能把krustal納入到優先級搜索框架中的方法，因為krustal算法需要實現並查集的操作。可以考慮用這樣的結構來實現：把所有的頂點放在一個向量結構中，子集用多叉樹表示；當采用一條邊的時候，更新一個頂點的parent指針；在選擇邊的過程中，需要在各個子樹中進行查找操作；合並的操作即相當於兩棵樹的合並；最終的結果必然是得到了一個頂點作為根節點的多叉樹結構。
總結來看，兩種算法的最大不同之處，在於krustal對邊采取了排序操作，而prim算法沒有進行預處理。