这篇介绍的是最小支撑树，常见的有Prim算法和Krustal算法。
支撑树：连通图G的某一无环连通子图T若覆盖G中所有的顶点，则称作G的一颗支撑树或生成树(spanning tree)。
支撑树必须覆盖所有的顶点，并且不能有环路，因此是禁止环路前提下的极大子图，也是保持通路前提下的最小子图。一个图可能有很多支撑树，它们都包含n个顶点和n-1条边。
最小支撑树：在带权网络G所有的支撑树中，成本最低的称为最小支撑树(MST)。
Prim算法
割(cut)：在图G=(V;E)中，顶点集V的任一平凡子集U及其补集V\U构成一个割。如果边uv满足u属于U且v不属于U，称作是该割的一条跨越边(cross)。跨边联接于V及其补集之间，也称作该割的一座桥。
Prim算法迭代的准则：最小支撑树总是会采用联接每一割的最短跨越边。
算法的策略是贪心迭代：从一个点出发，每次都寻找已经得到的支撑树子树T'与剩余的点构成的割的最短跨越边，并把它加入支撑树。算法复杂度为O(n^2)，适合于稠密图、
考虑算法的过程，我们可以在发现一个顶点时，把它的优先级设置为与子树T’的联边的权重。实际上，也就是把顶点的优先级设置为跨越边的权重，然后寻找那个最短的跨越边，加入到子树中。因此，这个问题也可以归于优先级搜索的框架：
1 template<typename Tv, typename Te> struct PrimPU 2 { 3 virtual void operator()(Graph<Tv, Te>* g, int uk, int v) 4 { 5 if (g->status(v) == UNDISCOVERED)//对于uk每个尚未被发现的邻接顶点v 6 if (g->priority(v) > g->weight(uk, v)) 7 { 8 g->priority(v) = g->weight(uk, v);//更新优先级数 9 g->parent(v) = uk;//更新父节点 10 } 11 } 12 };
只需要重写优先级更新器即可。
Krustal算法
前面的prim算法是以每一割的最短跨越边来扩展支撑树，通过更新点的优先级可以选取点和树边。
如果不考虑动态边的情况，而是直接选择边的长度，似乎可以更加直观一点。这也是krustal算法的思想。
把图中所有的边，按照权重进行排序，然后从最短的边开始，把边和它的两个端点u和v加入到支撑树中。然后按照边的顺序，继续选择最短边，检查两个端点是否已经在支撑树中，如果两个点都在，那么舍弃这条边继续进行；只有一个端点在，把这条边和新增的顶点加入支撑树，此时可能会是两个子树的合并操作；两个端点都不在，成为一个新的子树。知道已经有n-1条边时算法结束。
krustal算法在某些时候的效率可能会很高，但有时效率可能会很低，需要检查完所有的边才能结束算法，比如其他点之间的边权重很小，而某一点只与很少的点有联边且联边权重很大的情况。
另外，krustal算法要求图可以提供两种基本操作：一种是并，即把两个支撑树子树合并起来；另一个是查，检查一个顶点是否在子树中。支持这样的操作，称为并查集。
算法时间复杂度为O(eloge)。复杂度与边的数量有关，因此，该算法适合边比较稀疏的图。
我没有想到能把krustal纳入到优先级搜索框架中的方法，因为krustal算法需要实现并查集的操作。可以考虑用这样的结构来实现：把所有的顶点放在一个向量结构中，子集用多叉树表示；当采用一条边的时候，更新一个顶点的parent指针；在选择边的过程中，需要在各个子树中进行查找操作；合并的操作即相当于两棵树的合并；最终的结果必然是得到了一个顶点作为根节点的多叉树结构。
总结来看，两种算法的最大不同之处，在于krustal对边采取了排序操作，而prim算法没有进行预处理。