圖的遍歷(搜索)

與其他數據結構一樣，圖也需要進行遍歷操作，來訪問各個數據點，以及后續對頂點和邊進行操作。相對於樹來說，圖的結構更為復雜。

圖的遍歷，可以理解為將非線性結構轉化為半線性結構的過程。我們知道，樹就是一種半線性結構，經遍歷而確定的邊類型中，最為重要的類型就是樹邊，所有的樹邊與頂點一起構成了原始圖的一顆支撐樹（森林），稱作遍歷樹(traversal tree)。

因為圖中的頂點間，可能存在多條通路，所以不僅要對邊設置各種狀態，對於頂點也需要動態地設置多種狀態，以避免重復訪問同一個頂點多次。圖的遍歷更加強調對於處於特定狀態頂點的甄別和查找，所以也稱為圖搜索。大部分的圖搜索算法都可以在O(n+e)的時間內完成，因為每個頂點和每條邊都必須訪問，這已經是最優結果。

圖的搜索策略主要有三種，廣度優先搜索(bfs)，深度優先搜索(dfs)，優先級搜索(pfs)。不同搜索策略的區別，可以體現為邊分類的結果不同，以及所得遍歷樹的結構差異。決定因素在於，每一步迭代按照何種策略來選取下一個訪問的頂點。通常，下一步訪問都選取某個已經訪問到的頂點的鄰接頂點，同一頂點所有鄰接頂點的優先級可以根據實際情況確定。各種搜索策略的不同在於，存在多個頂點的時候，下一步選擇哪個頂點的鄰接頂點。下面分別介紹這三種搜索方法的策略以及簡單應用。

廣度優先搜索

策略：越早被訪問到的節點，其鄰居越被優先的訪問。

引入波峰集的概念，在所有已訪問到的頂點中，仍有鄰居尚未訪問的，構成波峰集。搜索過程也可以理解為，反復從波峰集中尋找最早被訪問到的頂點v，若它的鄰居已經全部被訪問到，將其逐出波峰集；否則，隨意選出一個尚未訪問到的鄰居，並將它加入波峰集。

仔細回想，廣度優先的策略，與二叉樹的層次遍歷是相同的。所以可以借鑒二叉樹層次遍歷的方法，用一個輔助隊列來實現圖的廣度優先搜索：

template<typename Tv, typename Te> void Graph<Tv, Te>::bfs(int s)//以s為起點的廣度優先搜索
{
    reset(); int clock = 0; int v = s;
    do
        if (stasus(v) == UNDISCOVERED)//遇到未發現的頂點
            BFS(v, clock);//執行一次BFS
    while (s != (v = (++v%n)));
}
template<typename Tv, typename Te> void Graph<Tv, Te>::BFS(int v)
{
    queue<int> Q;
    status(v) = DISCOVERED; Q.push(v);
    while (!Q.empty())
    {
        int v = Q.front(); Q.pop(); //取出最前方的點
        for(int u = firstNbr(v); u > -1; u = nextNbr(v, u))//枚舉v的所有鄰居u（按點編號從后向前）
            if (status(u) == UNDISCOVERED)
            {
                status(u) = DISCOVERED;
                Q.push(u);
                type(v, u) = TREE; parent(u) = v;//引入樹邊拓展支撐樹並確定父子關系
            }
            else
            {
                type(v, u) = CROSS;//跨邊
            }
        status(v) = VISITED;
    }
}

可以看到，把邊簡單地分成了兩類：樹邊和跨邊。若當前節點的鄰居為UNDISCOVERED，則將邊加入到支撐樹中，並將點的狀態設置為DISCOVERED，存入輔助隊列之中，改寫父子關系。否則，將邊歸為跨邊(CROSS)。當前節點的所有鄰居都已經被檢查狀態后，該節點的訪問完成，並取出隊列中最前面的點，繼續這一過程，直到輔助隊列中沒有頂點，即全部頂點均已被訪問完畢，算法結束。

深度優先搜索

策略：優先選取最后一個訪問到的頂點的鄰居。

因此，各頂點被訪問到的次序，類似於樹中的先序遍歷，但完成訪問的次序，類似於后序遍歷。實現代碼如下:

template<typename Tv, typename Te> void Graph<Tv, Te>::dfs(int s)//以s為起點的深度優先搜索
{
    reset(); int clock = 0; int v = s;
    do
        if (stasus(v) == UNDISCOVERED)//遇到未發現的頂點
            DFS(v, clock);//執行一次BFS
    while (s != (v = (++v%n)));//做到不重不漏
}
template<typename Tv, typename Te> void Graph<Tv, Te>::DFS(int v, int& clock)//遞歸實現
{
    dTime(v) = ++clock; status(v) = DISCOVERED;//發現的時間
    for (int u = firstNbr(v); u > -1; u = nextNbr(v, u))
        switch (status(u))
        {
        case UNDISCOVERED:type(u, v) = TREE; parent(u) = v; DFS(u, clock); break;
        case DISCOVERED:type(u, v) = BACKWARD; break;//有向環路，u必為v的祖先，故為后向邊
        default://u已經訪問完畢(visited，有向圖)，通過比較承襲關系區分前向邊和跨邊
            type(u, v) = (dTime(v) < dTime(u)) ? FORWARD : CROSS; break;//u的發現時間晚，為前向邊
        }
    status(v) = VISITED; fTime(v) = ++clock;//訪問結束的時間
}

把邊分為四類：樹邊，前向邊，后向邊，跨邊。如果u發現了但是還沒有訪問完畢，說明u是v的祖先，因此定義為后向邊；如果u已經是被訪問完畢的，就要分開討論：如果u的發現時間比v還要晚，說明u的層次比v要低，定義為前向邊，如果u的發現時間比v早，說明u和v屬於不同的分支，定義為跨邊。幾類邊的定義，對於處理一些問題是很有幫助的，比如雙連通域分解、拓撲排序等。

深度優先搜索的策略體現在，發現了一個UNDISCOVERED狀態的鄰居，就以這個鄰居為起點繼續遞歸地進行搜索。一個重要之處在於，用dTime和fTime來表示一個頂點被發現和被訪問完畢的時間，一個頂點的活躍期即為dTime----fTime，這可以給我們判斷兩個頂點是否有血緣關系提供方便。可以證明，兩個頂點存在“”祖先-后代”關系，當且僅當兩個頂點的活躍期為包含關系。

算法運行過后，通過parent指針可以給出起始頂點可達域的遍歷樹，這些樹構成了DFS森林。

這里用了遞歸的方法，實際上很容易改成迭代方法。與BFS類似，這里使用一個輔助堆棧，需要添加的一些操作是，發現未訪問的頂點，就把這個頂點入棧，每次循環檢查棧頂的頂點，如果鄰居均訪問完成，就出棧，取出下一個頂點，直到棧中已經沒有頂點。

 

深度優先搜索的應用(一)  拓撲排序

如果一個線性序列，每一個頂點都不會通過邊，指向其在此序列中的前驅頂點，那么這個線性序列，稱作原有向圖的一個拓撲排序(topological sorting)。

可以證明，有向無環圖必然存在拓撲排序，且拓撲排序未必唯一。任一有向無環圖必然存在入度為0的頂點，否則這個圖將包含環路。這樣就產生了得到一個拓撲排序的方法：只要將入度為0的頂點m以及相關聯的邊從圖G中取出，則剩余的G'依然是一個有向無環圖，遞歸下去，直到所有的點都被去掉，則按照次序，即可組成原圖的一個拓撲排序。

另一種思路，可以通過深度優先搜索的方法。對應上面的方法，圖中也必然存在出度為0的頂點，而這個頂點在深度優先搜索中會被首先轉換為VISITED。與第一種方法類似，將訪問完畢的頂點m以及關聯邊去掉，遞歸下去，下一個出度為0的頂點應當為m的前驅。由此可見，DFS中各頂點被標記為VISITED的次序，正好逆序地給出了一個原圖的拓撲排序，實現代碼如下：

template<typename Tv, typename Te> stack<Tv>* Graph<Tv, Te>::tSort(int s)
{
    reset(); int clock = 0; int v = s;
    stack<Tv>* S = new Stack<Tv>;
    do {
        if(status(v)==UNDISCOVERED)
            if (!TSort(v, clock, S))
            {
                while (!S->empty())
                    S->pop(); break;//任一連通域非DAG，直接返回
            }
    } while (s != (v = ( ++v % n ) ) );
    return S;
}
template<typename Tv, typename Te> bool Graph<Tv, Te>::TSort(int v, int& clock, stack<Tv>* S)
{                                                                  //基於DFS的拓撲排序(單次)
    dTime(v) = ++clock; status(v) = DISCOVERED;
    for (int u = firstNbr(v); u > -1; u = nextNbr(v, u))
        switch (status(u))
        {
        case UNDISCOVERED:parent(u) = v; type(v, u) = TREE;
            if (!TSort(u, clock, S)) return false;//若從u出發，u及其后代不能拓撲排序，返回
            break;
        case DISCOVERED:type(v, u) = BACKWARD; return false;//出現后向邊直接退出
        default:
            type(v, u) = (dTime(v) < dTime(u)) ? FORWARD : CROSS;
            break;
        }
    status(v) = VISITED; S->push(vertex(v));//返回時，頂點按照被訪問的次序也就是拓撲排序的次序，在棧中自頂向下
    return true;
}

這里可以看到，主函數里面執行了一個判別操作，當結束執行函數的時候，棧中仍然有頂點，說明拓撲排序不存在。單次搜索過程中，一旦存在后向邊，這個連通域必然存在一個環路，那么也就不存在拓撲排序，可以直接退出本次執行。當主函數執行完畢時，棧中的次序即為一個拓撲排序。

 

深度優先搜索的應用(二)  雙連通域分解

對於一個無向圖，如果刪除一個頂點v后，原圖中包含的連通域增多，稱v是一個切割節點或關節點。不含任何關節點的圖，稱為雙連通圖。任一無向圖都可以視為若干個極大的雙連通子圖組合而成，每一個這樣的子圖都稱為原圖的一個雙連通域(bi-connected component)。

討論什么樣的節點可能是關節點。DFS樹中的葉節點不可能是關節點，因為刪除它不會造成任何影響。如果根節點包含兩個分支，那么根節點必然是關節點。對於內部節點，如果刪除這個節點后，導致一顆真子樹與其真祖先無法連通，那么該節點必然是關節點，反之則不是關節點。

考慮前面DFS算法中定義的邊，后向邊是與其祖先相聯的，因此，在DFS過程中，只要隨時更新每個頂點所能連通的最高祖先(highest connected ancestor,hca)，就能判斷關節點，並獲得雙連通域，實現代碼如下：

template<typename Tv, typename Te> void Graph<Tv, Te>::bcc(int s)
{
    reset(); int clock = 0; int v = s; stack<int> S;
    do {
        if (status(v) == UNDISCOVERED)
        {
            BCC(v, clock, S);
            S.pop(); break;//任一連通域非DAG，直接返回
        }
    } while (s != (v = (++v % n)));
}
template<typename Tv, typename Te> void Graph<Tv, Te>::BCC(int v, int& clock, stack<int>& S)
{
    hca(v) = dTime(v) = ++clock; status(v) = DISCOVERED; S.push(v);
    for (int u = firstNbr(v); u > -1; u = next(v, u))
        switch (status(u))
        {
        case UNDISCOVERED:parent(u) = v; type(v, u) = TREE; BCC(u, clock, S); 
            if (hca(u) < dTime(v))//u可以通過后向邊指向v的真祖先
                hca(v) = min(hca(v), hca(u));
            else//否則，u無法通過后向邊與v的祖先相連，v為關節點，u以下即為一個bcc
            {
                while (v != S.top()) S.pop();//依次彈出棧中當前bcc中的節點
            }
            break;
        case DISCOVERED:type(v, u) = BACKWARD;
            if (u != parent(v)) hca(v) = min(hca(v), dTime(u));//更新hca(v)
            break;
        //default://visited(僅對於有向圖)
        //    type(v, u) = (dTime(v) < dTime(u)) ? FORWARD : CROSS;
        //    break;
        }
    status(v) = VISITED;
}

深度優先搜索的過程中，隨時更新節點的最高連通祖先。如果節點UNDISCOVERED，那么遍歷返回后，如果hca(u)比他父親的發現時間小，那么更新父親的hca；否則，說明無法通過后向邊與祖先連接，彈出關節點v之前的節點。如果節點為DISCOVERED狀態，此邊為后向邊，更新hca(v)。