矩陣相關（研究總結，矩陣，矩陣快速冪）
矩陣是計算機數學里一個比較重要的內容，它可以優化很多地方的推導，這里簡要地總結一下
什么是矩陣
形如
或
通用形式
這就是矩陣
簡單點來說，就是一個二維數組
矩陣乘法
說完了矩陣，那么什么是矩陣乘法呢？
首先說明一點，矩陣乘法A*B要求滿足A的行數等於B的列數!,這是由矩陣乘法的運算性質來的。
我們設A*B=T（三個都是矩陣），那么對於T[i][j]來說，$$T[i][j]=\Sigma(A[i][k]*B[k][j])$$
舉個例子
（寫得有點長，仔細閱讀后可以找到規律）
用字母表示就是
說的通俗一點，結果矩陣的第i行第j列等於矩陣A第i行與矩陣B第j列分別乘積的和（現在明白為什么矩陣乘法要求A的行數與B的列數相同了吧，因為要保證有東西乘，若不相等會導致缺少一些項）
快速冪
如果要求數字X的k次方，我們該如何求呢？
最簡單的方法就是用一個循環，循環k次，每次相乘。
但這樣效率太低，下面來介紹一下快速冪的方法。
我們知道，任何一個十進制的數都可以表示成為二進制的形式，比如12轉成二進制就是1100,這同樣也表示$$12=2^3+2^2$$
那么對於任意一個數k，它就可以表示為：
而我們又知道：
這就可以加速我們的冪運算，下面先給出代碼：
int pow(int x,int k)
{
int ans=1;
int res=x;
while (k>0)
{
if (k%2==1)
ans=ans*res;
res=res*res;
k=k/2;
}
return ans;
}
解釋一下，ans就是最后我們返回的x^k的值，而res則是一個累乘器，它基於的原理就是上面給出的
當然，上面這個代碼還不是最快的，還可以用位運算優化一下
int pow(int x,int k)
{
int ans=1;
int res=x;
while (k>0)
{
if (k&1)
ans=ans*res;
res=res*res;
k=k>>1;
}
return ans;
}
快速冪與矩陣
把快速冪與矩陣乘法相結合就是矩陣快速冪，其中快速冪的過程並不需要修改，只要定義一個關於矩陣的結構體並重載一下乘法運算符就可以了,為了方便運算，同時盡量滿足矩陣乘法的性質，下面的矩陣都是n*n的。
class Matrix
{
public:
int n;//n是當前矩陣的大小
int A[maxN][maxN];//maxN就是矩陣的最大大小
Matrix()//初始化矩陣中的所有元素都為０
{
memset(A,0,sizeof(A));
}
}
Matrix operator * (Matrix A,Matrix B)//重載乘法運算
{
Matrix Ans;
int size=A.n;
Ans.n=size;
for (int i=0;i<size;i++)
for (int j=0;j<size;j++)
for (int k=0;k<size;k++)
Ans.A[i][j]+=A.A[i][k]*B.A[k][j];
return Ans;
}
這個有什么用呢，我們下面再說。
矩陣優化
利用矩陣，我們可以優化許多有關於遞推和動態規划的問題。
我們先看一個簡單的例子：斐波那契數列
我們知道斐波那契數列的遞推式是
但是這樣遞推在i很大的時候效率不高，並且若不用滾動操作，空間消耗也很大。
（你說用通項公式？抱歉，無理數的精度是個問題）
我們考慮如何用矩陣來優化。
什么意思，就是我們希望得到一個式子滿足F[i]=A*A[i-1]，這樣我們就可以直接得到直接求出F[n]的式子，
再結合快速冪，我們就可以快速解決了。
先別急，我們先想一想我們需要那些狀態。
要求出f[i]（注意，這里我們開始用小寫，因為我們用大寫表示矩陣，而用小寫表示原來的遞推式中的元素），我們至少需要知道f[i-1]和f[i-2]的信息，所以我們可以列出下面這樣的信息矩陣：
我們再看一看我們要得到怎樣的目標狀態呢？
直接看f[i+1]需要那些元素，很明顯，f[i+1]由f[i]和f[i-1]推來，所以我們可以列出下面的目標矩陣:
根據斐波那契數列的普通遞推式，我們又可以把上面這個矩陣表示成為下面這種形式：
現在的任務就是要找出一個一個矩陣Ｔ使得F[i-1]*T=F[i]
根據矩陣乘法的運算法則，我們可以得出這個矩陣T:
（這里推薦讀者手動計推算一下）
當然，為了方便運算，這里我們把矩陣都補成正方形，方便存儲和運算
有了轉移矩陣T，我們就可以用快速冪迅速求出斐波那契數列的任意一項了。
好題推薦
下面給出一些矩陣乘法優化的題目，它們都是一些遞推的題目，但加強了數據范圍，讀者可以去熟悉矩陣的相關計算
Luogu 3390 【模板】矩陣快速冪 （矩陣乘法，快速冪）（一道矩陣快速冪模板題）
Luogu 1962 斐波那契數列（矩陣，遞推）（就是文章中那個斐波那契數列的例子）
Luogu 1349 廣義斐波那契數列（遞推，矩陣，快速冪）（斐波那契數列的加強版，不再是簡單的f[i]=f[i-1]+f[i-2]，而是f[i]=a*f[i-1]+b*f[i-2]，並且初始值f[1]和f[2]也是給定的）
Luogu T7152 細胞（遞推，矩陣乘法，快速冪）（稍微復雜點的用矩陣優化的遞推）
CJOJ 1331 【HNOI2011】數學作業 / Luogu 3216 【HNOI2011】數學作業 / HYSBZ 2326 數學作業（遞推，矩陣）（HNOI往年省選題，需要特殊處理的矩陣快速冪）
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