區間dp入門

 

所謂區間dp，顧名思義就是在一段區間上的動態規划。它既要滿足dp問題的最優子結構和無后效性外，還應該符合在區間上操作的特點。我的理解是往往會對區間進行合並操作。抑或是單個元素（可看成一個小區間）跨區間進行操作。例如括號匹配問題，石子合並問題（通過多次的相鄰合並，最后實質上會產生跨區間的合並，如果你把其中的石子看作參考系的話就很容易感覺出來），還有在整數中插入運算符號的問題（利用運算符的優先級以及交換律可看出）

這樣以來，如果我們要得知一個大區間的情況，由於它必定是由從多個長度不一的小區間轉移而來（轉移情況未知），我們可以通過求得多個小區間的情況，從而合並信息，得到大區間。

對於一個長度為n的區間，確定它的子區間需要首尾兩個指針，顯然子區間數量級為n²，那區間dp的復雜度也就為n²

操作的模板

    for (int len = 1; len < n; len++) { //操作區間的長度
        for (int i = 0, j = len; j <= n; i++, j++) { //始末
            //檢查是否匹配（非必須）
            for (int s = i; s < j; s++) {
                //update
            }
        }
    }

 

石子合並問題

#include <cstdio>
#define min(x, y) (x > y ? y : x)
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;

const int maxn = 210;
int dp[maxn][maxn];
int sum[maxn];
int a[maxn];

int main(int argc, const char * argv[]) {
    
    int n;
    while (~scanf("%d", &n)) {
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            scanf("%d", &a[i]);
            sum[i] = sum[i - 1] + a[i];
        }
        for (int len = 1; len < n; len++) { //操作區間的長度
            for (int i = 1, j = len + 1; j <= n; i++, j++) { //始末
                //檢查是否匹配（非必須）
                dp[i][j] = INF;
                for (int s = i; s < j; s++) {
                    dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][s] + dp[s + 1][j] + sum[j] - sum[i - 1]);
                }
            }
        }
        printf("%d\n", dp[1][n]);
    }
    return 0;
}

 

括號匹配

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;

const int maxn = 105;
char str[maxn];
int dp[maxn][maxn];

bool ck(int i, int j) {
    if ((str[i] == '(' && str[j] == ')') || (str[i] == '[' && str[j] == ']')) {
        return true;
    } else {
        return false;
    }
}

int main(int argc, const char * argv[]) {
    while (~scanf("%s", str)) {
        if (str[0] == 'e') break;
        
        int len;
        len = strlen(str);
        memset(dp, 0, sizeof(dp));
        for (int l = 1; l < len; l++) {  //len =  j - i 為當前區間長度
            for (int i = 0, j = l; j < len; i++, j++) { // i++, j++
                if (ck(i, j)) { // 匹配
                    dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;
                }
                // 討論區間合並情況，求最大值
                for (int pos = i; pos < j; pos++) {
                    dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][pos] + dp[pos + 1][j]);
                }
            }
        }
        printf("%d\n", dp[0][len - 1]);
        
    }
    return 0;
}

 

整數划分

 

 

四邊形不等式優化優化以后再學