區間DP(總結)

　　學長一晚上的耐心講解，使我明白區間DP這么高級的東西，還是挺容易的。也就是在一段區間內的動態規划。

　　下面用例題進行總結。

　　例題:石子歸並。

　　描述 有N堆石子排成一排，每堆石子有一定的數量。現要將N堆石子並成為一堆。合並的過程只能每次將相鄰的兩堆石子堆成一堆，並將新的一堆石子數記為該次合並的得分。

　　給組測試數據 

　　　　　輸入　　　4　　　　表示有4堆石子

　　　　　  4 4 5 9　　表示每堆石子的個數

　　　　　輸出  54         表示最大的得分　　　

　　分析:主要思想就是一個一個累加：4 4 5 9 先看下去是我想知道dp[i][j]的最大值，i表示起始位置，j表示終止位置，所以我肯定是想求出dp[1][4]間的最大值但是我從1到4可是如圖這三種截取方法，所以我先從小的開始記錄。

dp[1][1]=4;dp[2][2]=4;dp[3][3]=5;dp[4][4]=9。然后我在長度為2的時候記錄，dp[1][2]=4+4=8,dp[2][3]=8+5=14;dp[3][4]=14+9=23;這樣加起來的值就是8+14+23=45；但是如果我反過來呢？dp[1][2]=5+9=14;dp[2][3]=14+4=18;dp[3][4]=18+4=22;這樣加起來的值就是14+18+22=54。很明顯，54就是所求的最大值。

如圖，如果我相求圈着的這個三個的值，我完全可以有圖上這兩種分割，並且分割出來的值是已經知道的了。

動態規划的思想：先兩兩合並，在三三合並，最后再NN合並，在合並過程中，較大的區間可以拆分成已經的小區間進行計算，省時又省力。比如，我可以在三三合並的時候可以拆分成一一還有二三相加。即把當前階段的合並方法細分成前一階段已計算出的方法，選擇其中的最優方案。

具體來說我們應該定義一個數組dp[i,j]用來表示合並方法，i表示從編號為i的石頭開始合並，j表示所求區間的結尾，sum表示的是石頭的數量。

 

對於上面的例子來說，

　　 第一階段：dp[1][1],dp[2][2],dp[3][3],dp[4][4] 因為一開始還沒有合並，所以這些值應該全部為0。

 　　 第二階段：兩兩合並過程如下，其中sum(i,j)表示石頭的數量，即從i開始數j個數的和

 

              dp[1,2]=dp[1,1]+dp[2,2]+sum[1,2];

　　　　　dp[2,3]=dp[2,2]+dp[3,3]+sum[2,3];

　　　　　dp[3,4]=dp[3,3]+dp[4,4]+sum[4,4];

 

 

 

    第三階段：三三合並可以拆成兩兩合並，拆分方法有兩種，前兩個為一組或后兩個為一組

 

         dp[1,3]=dp[1,2]+dp[3,3]+sum[1,3]或dp[1,3]=dp[1,1]+dp[2,3]+sum[1,3];取其最優

　　　 dp[2,4]=dp[2,2]+dp[3,4]+sun[2,4]或dp[2,4]=dp[2,3]+dp[3,3]+sum[2,4];取其最優

    第四階段：四四合並的拆分方法用三種，同理求出三種分法的得分，取其最優即可。以后第五階段、第六階段依次類推，最后在第六階段中找出最優答案即可。

　  動態方程為dp[i][j]=dp[i][k]+dp[k+1][j]+sum[i][j];

　參考代碼。

 

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>

using namespace std;

//#define MAX 999999

int main ()
{
    int dp[210][210],sum[210][210],a[210];
    int n;
    while(~scanf("%d",&n))
    {
        //memset(dp,MAX,sizeof(dp));
        for (int i=1; i<=n; i++)
            scanf("%d",&a[i]);
        for (int i=1; i<=n; i++)
        {
            dp[i][i]=0;//初始化為0
            sum[i][i]=a[i];//將每堆石子的個數賦值進來
        }
        for (int len=1; len<n; len++)//按長度從小到大枚舉
        {
            for (int i=1; i<=n&&i+len<=n; i++)//i表示開始位置
            {
                int j=len+i;                    //j表示長度為len的一段區間的結束位置
                for (int k=i; k<j; k++)         //用k來表示分割區間
                {
                    sum[i][j]=sum[i][k]+sum[k+1][j];
                    if (dp[i][j]<dp[i][k]+dp[k+1][j]+sum[i][j])
                        dp[i][j]=dp[i][k]+dp[k+1][j]+sum[i][j];
                    //cout<<i<<" "<<j<<" "<<sum[i][j]<<" "<<k<<" "<<dp[i][j]<<endl;
                }
            }
        }
        cout<<dp[1][n]<<endl;
    }
    return 0;
}

 http://acm.nyist.net/JudgeOnline/problem.php?pid=737

這是一道類似的題目，和上述代碼有點區別，把7,15,31行修改一下即可哦~