[LeetCode] 633. Sum of Square Numbers 平方數之和

 

Given a non-negative integer c, your task is to decide whether there're two integers a and b such that a2 + b2 = c.

Example 1:

Input: 5
Output: True
Explanation: 1 * 1 + 2 * 2 = 5

 

Example 2:

Input: 3
Output: False

 

這道題讓我們求一個數是否能由平方數之和組成，剛開始博主沒仔細看題，沒有看到必須要是兩個平方數之和，博主以為任意一個就可以。所以寫了個帶優化的遞歸解法，博主已經不是上來就無腦暴力破解的辣個青蔥騷年了，直接帶優化。可是居然對 14 返回 false，難道 14 不等於 1+4+9 嗎，結果仔細一看，必須要兩個平方數之和。好吧，那么遞歸都省了，直接判斷兩次就行了。我們可以從c的平方根，注意即使c不是平方數，也會返回一個整型數。然后我們判斷如果 i*i 等於c，說明c就是個平方數，只要再湊個0，就是兩個平方數之和，返回 true；如果不等於的話，那么算出差值 c - i*i，如果這個差值也是平方數的話，返回 true。遍歷結束后返回 false，參見代碼如下：

 

解法一：

class Solution {
public:
    bool judgeSquareSum(int c) {
        for (int i = sqrt(c); i >= 0; --i) {
            if (i * i == c) return true;
            int d = c - i * i, t = sqrt(d);
            if (t * t == d) return true;
        }
        return false;
    }
};

 

下面這種方法用到了 HashSet，從0遍歷到c的平方根，對於每個i*i，都加入 HashSet 中，然后計算 c - i*i，如果這個差值也在 HashSet 中，返回 true，遍歷結束返回 false，參見代碼如下：

 

解法二：

class Solution {
public:
    bool judgeSquareSum(int c) {
        unordered_set<int> s;
        for (int i = 0; i <= sqrt(c); ++i) {
            s.insert(i * i);
            if (s.count(c - i * i)) return true;
        }
        return false;
    }
};

 

上面兩種方法都不是很高效，來看下面這種高效的解法。論壇上有人稱之為二分解法，但是博主怎么覺得不是呢，雖然樣子很像，但是並沒有折半的操作啊。這里用a和b代表了左右兩個范圍，分別為0和c的平方根，然后 while 循環遍歷，如果 a*a + b*b 剛好等於c，那么返回 true；如果小於c，則a增大1；反之如果大於c，則b自減1，參見代碼如下：

 

解法三：

class Solution {
public:
    bool judgeSquareSum(int c) {
        long a = 0, b = sqrt(c);
        while (a <= b) {
            if (a * a + b * b == c) return true;
            else if (a * a + b * b < c) ++a;
            else --b;
        }
        return false;
    }
};

 

下面這種解法基於費馬平方和定理 Fermat's theorem on sums of two squares 的一般推廣形式：當某個數字的 4k+3 型的質數因子的個數均為偶數時，其可以拆分為兩個平方數之和（each prime that is congruent to 3 mod 4 appears with an even exponent in the prime factorization of the number）。那么我們只要統計其質數因子的個數，並且判讀，若其為 4k+3 型且出現次數為奇數的話直接返回 false。這里，我們從2開始遍歷，若能整除2，則計數器加1，並且c也要除以2。這樣我們找到都會是質數因子，因為非質數因子中的因子已經在之前被除掉了，這也是個 trick，需要自己好好想一下。最終在循環退出后，我們還要再判斷一下，若剩余的質數因子還是個 4k+3 型，那么返回 false，否則返回 true，參見代碼如下：

 

解法四：

class Solution {
public:
    bool judgeSquareSum(int c) {
        for (int i = 2; i * i <= c; ++i) {
            if (c % i != 0) continue;
            int cnt = 0;
            while (c % i == 0) {
                ++cnt;
                c /= i;
            }
            if (i % 4 == 3 && cnt % 2 != 0) return false;
        }
        return c % 4 != 3;
    }
};

 

類似題目：

Valid Perfect Square 

 

參考資料：

https://leetcode.com/problems/sum-of-square-numbers/

https://leetcode.com/problems/sum-of-square-numbers/discuss/104938/simple-c-solution

https://leetcode.com/problems/sum-of-square-numbers/discuss/104930/java-two-pointers-solution

https://leetcode.com/problems/sum-of-square-numbers/discuss/104932/hashset-java-quick-solution-one-for-loop

 

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