Google面試題-高樓扔雞蛋問題

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高樓扔雞蛋問題   這個問題非常有名了  早幾年之前面試的時候都遇到過，可是當時也確實沒搞清楚怎么做，后來也沒管了。今天網上偶然碰到，打算趁這個機會徹底搞清楚，就寫一篇博文吧。

網上非常多資料，但我感覺都不太易懂，每一步的推導是為什么。

所以我這里僅僅想寫一種比較簡單、比較完整的推演流程。

題目描寫敘述: （挑了一個比較嚴謹的描寫敘述。問題描寫敘述嚴謹非常重要。不然會影響解題思路）
一幢 100 層的大樓,給你兩個雞蛋. 假設在第 n 層扔下雞蛋,雞蛋不碎,那么從前 n-1 層扔雞蛋都不碎.
這兩僅僅雞蛋一模一樣,不碎的話能夠扔無數次. 已知雞蛋在0層扔不會碎.
提出一個策略, 要保證能測出雞蛋恰好不會碎的樓層, 並使此策略在最壞情況下所扔次數最少.

問題分析：

1）最壞情況下所扔次數最少。比較繞口。想表達的意思是。在不明白知道哪一層會碎的情況下。要找到一種策略，通過最少的試驗次數，得到臨界樓層（恰好不會碎的樓層）。不明白知道。就須要考慮最糟糕的情況，並且這樣的策略與其它策略相比是最糟糕的情況下，最少的試驗次數。

2）假設一種扔法：第一個雞蛋，從50樓扔下去。

假設碎了，第二個雞蛋必須從1~49層逐層試驗。假設第i層為臨界層。且i≤49，這個時候，要試驗的總次數是1 +（i - 1）。由於必須保證在沒找到臨界樓層之前，雞蛋不能碎。假設沒碎，則第一個雞蛋能夠接着從75層扔。

由於即使這次碎了，還有個雞蛋，能夠繼續逐層試驗。對第一個雞蛋的繼續從中間分，就比較合理。

3）假設到代數：假設第一枚雞蛋扔下去的層數為i，則碎了的情況，須要扔的總次數最糟糕的情況是1 + ( i - 1 )；假設沒碎，剩下的兩個雞蛋都在，須要扔的次數一定為1 + 用兩枚雞蛋來解決剩下的100 - i層的次數（這個問題跟原題是一樣的。可是層數少了一些）。也就是 假設用f ( 100 )表示100層的最壞情況下的最少次數，那么從第i層扔雞蛋的最糟糕的試驗次數是 1+ Max( i - 1, f ( 100 - i ) )，Max表示這兩者之間的最大值，是最最糟糕的情況了。

 而 f ( 100 ) 就是對全部從1到100的全部i里。 1+ Max( i - 1, f ( 100 - i ) )的值最小的那個。

4）迭代公式： f ( 100 ) = Min ( 1 + Max ( i - 1, f (100 - i ) ) ) .   當中Max是針對的 i-1、 f ( 100 - i ) 兩者 。 而Min是針對的全部的從1到100的i。

5）初始狀態： 假設有一層，從第一層扔下去，無論碎不碎。最糟糕的情況也僅僅須要推斷一次。 即 f ( 1 ) = 1。而如題所述，第0層不會碎，則 不用扔也知道，即f(0) = 0。

6）終於結論：題目變成了分析一個迭代公式的值。翻譯成了計算機語言，剩下的就能夠交給計算機了。

不須要知道怎么一步步算，這不應該是人干的事。僅僅須要知道已經變成了能夠循環遞歸的算式，能夠交給計算機即可了。

// 實現代碼   <a target=_blank href="http://blog.csdn.net/lonelyrains">blog.csdn.net/lonelyrains</a>

#include <stdio.h>

// #define MAX((a),(b)) (a)>(b)?
(a):(b)  //注意這里也是常考的一點，應該寫成以下的形式
#define MAX(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))

int fun ( int layer )
{
	if ( layer <= 0 )
	{
		return 0;
	}

	if ( layer == 1 )
	{
		return 1;
	}

	int min = layer; // 一棟layer層的大樓試驗次數肯定不可能超過layer次。
	int temp;
	for ( int i = 1; i <= layer; i++ )
	{
		temp = 1 + MAX(i-1, fun( layer - i ) );
		if( min > temp )
			min = temp;
	}

	return min;
}

int main()
{
	int layer = 19;
	printf("%d",fun(layer));
	return 0;
}

用上面的代碼測試了一下，給layer賦值19。即針對一棟19層的大樓來算最壞情況的最少次數。就要非常長時間才干出結果了（果然18層是地獄）....    

7）其它擴展：

① 問題的解法不止這一種描寫敘述，並且不一定要交給計算機算。由於這樣遞歸算。計算機要累死了。能夠優化到用非常easy的數列求和公式得到。

關於怎么來的，有兩種思路。能夠參考以下的第二個參考鏈接給出的基於意義的理解。這是一種思路。可是比較難理解。第二種。就是純粹的組合數學方法。將迭代公式轉換成通項公式，這個問題還沒找到有人這樣寫過，可是絕對能夠有。

② 問題能夠擴展為一棟n層的大樓，有m個雞蛋。甚至不止一棟，而是p棟。 無論怎么樣擴展，問題都能夠歸為找迭代公式。

這個思路就是動態規划的精髓。

8）參考鏈接：

http://www.zhihu.com/question/19690210

http://blog.csdn.net/linj_m/article/details/9792821