100層樓扔兩個雞蛋問題

解釋：兩個雞蛋一樣，只有在達到某個樓層高度時，才會摔碎。可以假設這個摔碎臨界樓層是N。

1、最笨的方法——只用一個雞蛋遍歷——N次嘗試

• 一個雞蛋遍歷那就是從一樓頂開始，逐層嘗試，如果摔不碎那就繼續往上層嘗試，直到N層摔碎了。這樣就嘗試了N次，而且浪費了一個雞蛋的使用。

2、二分查找——兩個雞蛋，雞蛋A用來二分嘗試，雞蛋B用來在A摔碎后做局部遍歷嘗試

• 雞蛋A用來做二分嘗試，即第一次從50層扔下。
• 最悲觀情況，直接摔碎，說明N在1-50之間，那么雞蛋B也只能從1開始遍歷，回到了第一種情況（最多嘗試次數也是N）。
• 樂觀情況，雞蛋A沒摔碎，接下來就可以嘗試從75層扔下，碎了那就是N在51-74之間了。嘗試次數為1+1+（74-51）=25次。
• 更樂觀情況，雞蛋A在75層也沒碎，接下來可以在87層扔下；A碎了則N在76-86之間，故是需要1+1+1+（86-76）=13次。
• A沒碎，接下來在93層扔下；A碎了則N在88-92之間，故需要扔1+1+1+1+（92-88）=8次。
• A沒碎，接下來在96層扔下；A碎了則N在94-95之間，故需要扔1+1+1+1+1+（95-94）=6次。
• A沒碎，接下來在98層扔下；A碎了則N在97，故需要扔1+1+1+1+1+1=6次。
• A沒碎，則A在99-100之間，如需要扔6+1=7次。

可見，用二分法結果很不穩定，特別是N小於50時最糟糕（甚至會比第一種直接遍歷的還要多一次）。N越大越好找，需要嘗試的次數越少。
如果這個題目換成雞蛋個數不限制，那就是用二分法最快了。

3、平均分割樓層法——假設總共扔X次，其中雞蛋A扔了X1次，雞蛋B扔了X2次

• X=X1+X2
• 雞蛋A用來做樓層平均分割，大步嘗試；雞蛋B作為每一小部分的遍歷小步嘗試。
• 假設將100層平均分為10部分，即雞蛋A分別在第10、20、30、40、50、60、70、80、90、100層扔；則雞蛋B在A摔碎后在細分的那個樓層小步遍歷尋找即可。如此的平均嘗試次數又要比二分查找更好。
• 但問題是如何找到最優的平均分割n段，X1=n，X2=100/n。
  X=n+100/n，可見n平方=100即n等於10時，X=20。

• 若能在后面每一段更准確地分析出應該分的樓層數（如圖2），而不是平均10層一段（如圖1），會有更優的效果。下一個方法就是這樣。

  
  
   

  

   

4、假設法——假設最多允許嘗試X次，問能嘗試到的最高的樓層。

• 第1次從X樓扔下來。因為即使摔壞了，也可以用另一個雞蛋遍歷X-1次找到該樓層。
• 第2次（還剩X-1次嘗試次數）可以從X+(X-1)層扔下來。因為即使摔碎了，也可以用另一個雞蛋遍歷X-1-1次找到該樓層。
• 同理，第3次，可以從X+(X-1)+(X-2)層扔下來。
• 第X次。可以從第X+(X-1)+(X-2)+...+(X-(X-2))+1層扔下來，這就是最高可能嘗試到的樓層X*(X+1)/2，下面所有的樓層都可以在X次嘗試中到達。

當最高樓層為100時，可列出不等式：最高可能嘗試到的樓層X*(X+1)/2 > 100，解出X=14次。這就是最穩定的最快尋找到該樓層的扔雞蛋次數。也就是說第一次扔雞蛋要從14樓開始扔。14+13+12+11+...+2+1 = 105層，也就是14次嘗試一定可以在1-105層中找到那個第N層。推出了公式X*(X+1)/2后，要想編程求任意總樓層條件下，就都很方便了。

5、動態規划法——找最優解常用方法

在我們編程解決問題的過程中，如果遇到最優問題的時候，往往可以先嘗試一下動態規划的方法。而動態規划的方法，首要的我們要找到構成這個最優問題的最優子問題。所以，下面的分析，我們首先嘗試動態規划的方法，如何解決這個問題，這也是典型的程序員的思路；其次，在眾多的問題當中，有不少可以直接歸結為數學方程式，如果我們能夠寫出數學方程式，那么，答案將是更加的簡潔、美妙（比如上一種方法推導出來的公式）。

• 基於動態規划的方法 前面提到，若要采用動態規划的方法，最重要的是要找到子問題。做如下的分析，假設F{n}表示從第n層樓扔下雞蛋，找到不摔碎雞蛋樓層的最少嘗試次數。第一個雞蛋可能從第i層扔下，有兩個情況：

• 碎了，第二個雞蛋，需要從第一層開始試驗，最多要嘗試i-1次。

• 沒碎，兩個雞蛋，還有n-i層。這個就是子問題了f[n-i] 。

所以，當第一個雞蛋，由第i個位置落下的時候，要嘗試的次數為f[i]= 1 + max(i - 1, f[n-i])用max是確保一定可以在這么多次內找到。那么對於每一個i對f(i)進行比較，非最小的f(i)，就是F{n}的值。狀態轉移方程如下： F{n} = min f[i] = min(1 + max(i - 1, f[n-i]) ) 其中: i的范圍為(1, n), f[1] = 1 完畢。

推廣動態規划的方法，可以推廣為n層樓，m個雞蛋。如下分析： 假設f{n,m}表示n層樓、m個雞蛋時找到最高樓層的最少嘗試次數。當第一個雞蛋從第i層扔下，如果碎了，還剩m-1個雞蛋，為確定下面樓層中的安全樓層，還需要f{i-1,m-1}次，找到子問題；不碎的話，上面還有n-i層，還需要f[n-i,m]次，又一個子問題。 狀態轉移方程如下： f{n, m} = min(1 + max(f{i - 1, m - 1}, f{n - i, m}) ) 其中： i為(1, n), f{i, 1} = 1

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;
const int N = 55;
const int M = 1010;
int dp[N][M];//剩余i個雞蛋在j層樓進行的最少次數
int n, m;

void init()
{
    memset(dp, 0, sizeof(dp));
    for(int i = 1; i < N; ++i)
    {
17         dp[i][1] = 1;
    }
    for(int i = 1; i < M; ++i)
        dp[1][i] = i;
    for(int i = 2; i < N; ++i)
        for(int j = 2; j < M; ++j)
            for(int k = 1; k < j; ++k)//最壞情況的最少次數，碎和沒碎兩種情況取最大值
                dp[i][j] = min(dp[i][j], max(dp[i][j-k]+1, dp[i-1][k-1]+1));
}

int main()
{
    int t;
    scanf("%d", &t);
    init();
    while(t--)
    {
        int cas;
        scanf("%d %d %d", &cas, &n, &m);
        printf("%d %d\n", cas, dp[n][m]);
    }
    return 0;
}