標准差、方差、協方差的簡單說明

在一個樣本中，樣本的無偏估計的均值、標准差和方差如下：

 

對於單個變量，它的協方差可以表示為：

 

其實它即是方差，所以呢，當只有一個變量時，方差是協方差的一種特殊情況；

 

舉例：有一個變量 X的樣本為：0.2， 0.3，0.4，0.3，0.5；求自身的協方差（即方差）

 

對於兩個變量，協方差可以表示為：

它表示了兩個變量的相關性；通俗一點說，當X變大時，Y是否會變大 ，如果正相關，則協方差大於0，如果不負相關，則協方差小於0；

舉例：有兩個變量 ，X的樣本為：0.2， 0.3，0.4，0.3，0.5；y的樣本為：0.2，0.5，0.6，0.8，0.5；求 X與Y的協方差；

解：略；

對有三個變量時，會怎么樣？

這時候，就需要用一個協方差矩陣表示了。（其實兩個變量時，也可以用協方差矩陣表示）

它是對稱的。

舉例：有兩個變量 ，X的樣本為：0.2， 0.3，0.4，0.3，0.5；y的樣本為：0.2，0.5，0.6，0.8，0.5；Z的樣本為：0.3，0.5，0.1，0.7，0.4；求 X、Y和Z的協方差；

解這個題，即可以把矩陣中的一個個的元素單獨求出來，也可以用矩陣直接求出：

 

對於多個變量時，怎么辦？？

假設有 x1,x2, x3…… xn 個變量時，求它們的協方差矩陣；

應該知道每一個 xi 表示一個行向量，把它們用一個矩陣表示為：

 

矩陣X 的協方差矩陣可以表示為：

記住： X 為矩陣；