[C++] 貪心算法之活動安排、背包問題

一、貪心算法的基本思想

　　在求解過程中，依據某種貪心標准，從問題的初始狀態出發，直接去求每一步的最優解，通過若干次的貪心選擇，最終得出整個問題的最優解。

　　從貪心算法的定義可以看出，貪心算法不是從整體上考慮問題，它所做出的選擇只是在某種意義上的局部最優解，而由問題自身的特性決定了該題運用貪心算法可以得到最優解。如果一個問題可以同時用幾種方法解決，貪心算法應該是最好的選擇之一。

二、貪心算法的基本要素

　　（1）最優子結構性質

　　（2）貪心選擇性質（局部最優選擇）

三、貪心算法實例

　　1、活動安排

　　設有n個活動的集合 E ＝ {1,2,…,n}，其中每個活動都要求使用同一資源，如演講會場等，而在同一時間內只有一個活動能使用這一資源。

　　每個活動 i 都有一個要求使用該資源的起始時間 s_i 和一個結束時間 f_i，且 s_i ＜ f_i。如果選擇了活動i，則它在半開時間區間 [s_i ,f_i ) 內占用資源。若區間 [s_i , f_i )與區間 [s_j, f_j ) 不相交，則稱活動i與活動j是相容的。當 s_i ≥ f_j 或 s_j ≥ f_i 時，活動 i 與活動 j 相容。

　　活動安排問題就是在所給的活動集合中選出最大的相容活動子集合。

　　例如：

#include <iostream>   
using namespace std;   
  
#define NUM 50 

void GreedySelector(int n, int s[], int f[], bool b[])  
{
    b[1]=true;  //默認將第一個活動先安排 
    int j=1;    //記錄最近一次加入b中的活動  
  
      //依次檢查活動i是否與當前已選擇的活動相容
    for(int i=2;i<=n;i++)  
    {  
        if (s[i]>=f[j])  
        {   
            b[i]=true;  
            j=i;  
        }  
        else  
            b[i]=false;  
    }  
}

int main()  
{  
    int s[] = {0,1,3,0,5,3,5,6,8,8,2,12};          //存儲活動開始時間
    int f[] = {0,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14};      //存儲活動結束時間
    bool b[NUM];  //存儲被安排的活動編號 
     int n = (sizeof(s) / sizeof(s[0])) - 1;
     
    GreedySelector(n, s, f, b);
    
    for(int i = 1; i <= n; i++)      //輸出被安排的活動編號和它的開始時間和結束時間 
    {  
        if(b[i]) cout << "活動 " << i << " :" << "(" << s[i] << "," << f[i] << ")" <<endl;  
    }  
    return 0;  
}  

　　2、背包問題

　　給定一個載重量為 M 的背包，考慮 n 個物品，其中第 i 個物品的重量 w_i（1 ≤ i ≤ n），價值 v_i（1 ≤ i ≤ n），要求把物品裝滿背包，且使背包內的物品價值最大。
　　有兩類背包問題（根據物品是否可以分割），如果物品不可以分割，稱為 0—1 背包問題（動態規划）；如果物品可以分割，則稱為背包問題（貪心算法）。

　　例如：

　　有3種方法來選取物品：

　　　　（1）當作 0—1 背包問題，用動態規划算法，獲得最優值 220；
　　　　（2）當作 0—1 背包問題，用貪心算法，按性價比從高到底順序選取物品，獲得最優值 160。由於物品不可分割，剩下的空間白白浪費。
　　　　（3）當作背包問題，用貪心算法，按性價比從高到底的順序選取物品，獲得最優值 240。由於物品可以分割，剩下的空間裝入物品 3 的一部分，而獲得了更好的性能。

圖2.1 背包問題

#include <iostream>   
using namespace std;   
  
#define NUM 50

//這里假設 w[], v[] 已按要求排好序 
void Knapsack(int n,float M,float v[],float w[],float x[])  
{
    int i; 
    for(i = 1; i <= n; i++) x[i] = 0;    //初始化數組 
    float c  =  M;  
    for(i = 1;i <= n; i++)                //全部被裝下的物品,且將 x[i] = 1  
    {  
        if(w[i]>c) break;
        x[i] = 1;  
        c -= w[i];  
    }  
  
    if(i <= n) x[i] = c / w[i];  //將物品i 的部分裝下
} 

int main()  
{
    float M = 50;                //背包所能容納的重量  
    float w[] = {0,10,20,30};   //這里給定的物品按價值降序排序 
    float v[] = {0,60,100,120};  
      float x[NUM];                //存儲每個物品裝入背包的比例 
      
    int n = (sizeof(w) / sizeof(w[0])) - 1; 
      
    Knapsack(n, M, v, w, x);
     
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        cout << "物品 " << i << " 裝入的比例: " << x[i] << endl;  
    return 0;  
}