bsgs算法詳解

例題  poj 2417bsgs  http://poj.org/problem?id=2417

這是一道bsgs題目，用bsgs算法,又稱大小步（baby step giant step）算法，或者拔（b）山（s）蓋（g）世（s）算法，或者北（b）上（s）廣（g）深（s）算法。。。

題目大意就是

給定a,b,p，求最小的非負整數x，滿足  a^x ≡ b(mod p)

 

先令 x = i*m-j，其中 m=ceil(sqrt(p))，ceil是向上取整。

這樣原式就變為     a^i*m-j = b (mod p)，

移項就變成了        a^i*m = b*a^j (mod p)

枚舉j (范圍0-m) ,將 b*a^j  存入hash表。

枚舉i (范圍1-m) ,從hash表中尋找第一個滿足a^i*m = b*a^j  (mod p)。

此時   x = i*m-j  就是所要求的。

 

那么為什么只計算到 m=ceil(sqrt(q))  就可以確定答案呢？

因為 x = i*m-j , 所以x 的最大值不會超過p

a^{(k mod p-1)} = a^k (mod p)  證明這個公式,(需要用到費馬小定理)

k mod p-1 就是 k-m(p-1) ,原式就變成了 a^k-m(p-1) ≡ a^k (mod p)

再變一步  a^k / a^m(p-1) ≡ a^k (mod p)

這時讓 a^m(p-1) ≡ 1 (mod p) 就行了。

由費馬小定理知: 當p為質數且 (a,p) = 1 時 a^p-1 ≡ 1 (mod p)

所以推出 p 為質數 且 (a,p)=1 這個條件, 所以 a^{(k mod p-1)} ≡ a ^k (mod p) 

所以：如果枚舉 x 的話枚舉到 p 即可。

所以使 im−j<=p , 即 m=⌈√p⌉ , i,j 最大值也為m。

 

 這是代碼，結合上面的看

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<map>
#include<cmath>

using namespace std;
typedef long long ll;

map<ll,int>mp;
ll p,a,b;
ll n,m,now,ans,t;
bool flag;

ll fast_pow(ll x)
{
    ll sum = 1;
    ll aa = a;
    while (x>0)
    {
        if (x&1) 
            sum = (sum*aa)%p;
        x = x>>1;
        aa = (aa*aa)%p;
    }
    return sum;
}
int main()
{
    while(scanf("%lld%lld%lld",&p,&a,&b)!=EOF)
    {
        if(a%p==0)
        {
            printf("no solution\n");
            continue;
        }
        mp.clear();
        m = ceil(sqrt(p));
        flag = false ;
        now = b%p;        //b*a^j 當j==0時 
        mp[now] = 0;
        for(int i=1;i<=m;++i)
        {
            now = (now*a)%p;
            mp[now] = i;
        }
        t = fast_pow(m);
        now = 1;
        for(int i=1;i<=m;++i)    //枚舉 (a^m)^i
        {
            now = (now*t)%p;
            if(mp[now])
            {
                flag = true;
                ans = i*m-mp[now];
                printf("%lld\n",(ans%p+p)%p);    //printf("%lld\n",(ans%p+p)%p);
                break;
            }
        }
        if(!flag) printf("no solution\n");
    }
    return 0;
}