Dijkstra算法詳解

前言

前幾天研究的Bellman_Ford算法雖然可以算負權，可是時間復雜度高達O(NM)，即使是采用了隊列優化，也有可能被網格圖卡回O(NM)，所以今天我們就來研究一個新的，更快的，但同時只能在正權圖上運行的算法:Dijkstra（朴素Dijkstra算法）

Dijkstra基本思想及實現過程

我們首先需要以下幾個數組：dist[],vis[],用鄰接矩陣需要g[][],鄰接表則需要v[],w[],head[],nxt[]

鄰接表與鄰接矩陣在此不做過多解釋，不懂的同學請自行百度，dist[i]表示i離源點的最短路距離，vis[i]==1就表示i號節點已經永久標號（之后會詳細解釋什么是永久標號）

算法步驟：

1）將源點距離初始化為0，其它點為正無窮INF

2）經過n次如下操作，得到源點離其它點的最短距離：

1、選擇一個未擴展的點k，滿足dist[k]是未擴展節點中離源點距離最小的；

2、對k進行永久標號

3、以k為中間點修改源點到其它點的最短路距離

時間復雜度O(N²),由於所有邊權都為正，從而保證了算法的正確性。

朴素Dijkstra（鄰接矩陣）

通過上邊的步驟依次實現即可，下面給出參考程序：

Dijkstra堆優化（鄰接表+優先隊列）

 

#include<iostream>
#include<cstring>
#define inf 336860180
using namespace std;
int n,m,x,y,w,map[1000][1000],minn,dist[1000],t;
bool pd[1000];
int main()
{
    memset(map,20,sizeof(map));
    memset(dist,20,sizeof(dist));
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        map[i][i]=0;
    }
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        cin>>x>>y>>w;
        map[x][y]=w;
    }
    dist[1]=0;
    pd[1]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        t=1;minn=9999999;
        for(int j=1;j<=n;j++)
        {
            if(pd[j]==0&&dist[j]<=minn)
            {
                minn=dist[j];
                t=j;
            }
        }
        pd[t]=1;
        for(int j=1;j<=n;j++)
        {
            dist[j]=min(dist[j],dist[t]+map[t][j]);
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(i-1)cout<<" ";
        if(dist[i]!=inf)cout<<dist[i];
        else cout<<"INF";
    }
    return 0;
}

 

 

 

由於每次查找最短的點浪費大量時間，我們可以用優先隊列進行查找，用pair記錄，第一維記錄最短距離，第二維記錄點的編號，創建一個小根堆，每次取堆頂擴展即可。時間復雜度降為O((n+m)logm),參考程序如下：

 

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<queue>
#include<cstring>
using namespace std;
typedef pair<long long,long long>P;
long long n,m,s,dist[100001],v[200005],w[200005],nxt[200005],head[200005],cnt,x,y,z;
bool vis[100001];
void add(long long a,long long b,long long c)
{
    v[++cnt]=b;
    w[cnt]=c;
    nxt[cnt]=head[a];
    head[a]=cnt;
}
void dijkstra(int s)
{
    memset(dist,20,sizeof(dist));
    priority_queue<P,vector<P>,greater<P> >q;
    dist[s]=0;
    q.push(P(0,s));
    while(!q.empty())
    {
        long long c=q.top().second;
        q.pop();
        if(vis[c])continue;
        vis[c]=1;
        for(int i=head[c];i;i=nxt[i])
        {
            int y=v[i];
            if(dist[y]>=dist[c]+w[i])
            {
                dist[y]=dist[c]+w[i];
                q.push(P(dist[y],y));
            }
        }
    }
}
int main()
{
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&s);
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
        add(x,y,z);
    }
    dijkstra(s);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        cout<<dist[i]<<" ";
    }
    return 0;
}